Compartir

Carlos del Porto Blanco

En el universo de las matemáticas, los números primos ocupan un lugar especial. Son, en esencia, los «átomos» del mundo numérico: elementos básicos a partir de los cuales se construyen todos los demás números. En un mundo cada vez más conectado y dependiente de la tecnología, los números primos han pasado de ser una curiosidad matemática a convertirse en piezas fundamentales de la vida cotidiana. Aunque su estudio se remonta a la antigüedad, esos números siguen siendo objeto de fascinación para matemáticos, informáticos y criptógrafos. Pero, ¿qué son exactamente los números primos y por qué son tan importantes hoy en día? Pero, ¿qué los hace tan especiales? De eso se hablará en esta columna.

Puede que Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo extraño está pasando con los números primos. Paul Erdos.

Los números primos han fascinado a los matemáticos durante milenios. Esos números tienen una propiedad singular, solo son divisibles por 1 y por sí mismos, se consideran los «átomos» de la aritmética. Desde los antiguos griegos, y quizás antes, hasta los matemáticos actuales, los números primos son objeto de culto, estudio y admiración. Unos 300 años A. N. E., el matemático griego Euclides demostró que existen infinitos números primos. Desde entonces, los matemáticos han intentado comprender mejor cómo se distribuyen a lo largo de la recta numérica. Aunque parecen dispersos al azar, los números primos siguen patrones complejos y misteriosos

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo es divisible por 1 y por sí mismo. En otras palabras, no puede formarse multiplicando otros números más pequeños. Por ejemplo, el número 7 es primo porque solo puede dividirse exactamente entre 1 y 7. En cambio, el número 6 no es primo, ya que puede dividirse entre 1, 2, 3 y 6. El concepto es simple, pero su comportamiento ha intrigado a las mentes más brillantes durante siglos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… y así sucesivamente. Curiosamente, el 2 es el único número primo par, ya que todos los demás números pares son divisibles por 2. El primer número primo a partir del número mil es el 1009, después de diez mil es el 10 007, a partir de cien mil es el 100 003 e inmediatamente tras un millón es el 1 000 003.

Número primo - Wikipedia, la enciclopedia libre

Números naturales de cero a cien. Los números primos están marcados en rojo.

¿Por qué son importantes?

Algunas razones de las razones por las que son importantes estos números, son las siguientes:

  1. 1. Construcción de Números: Todos los números enteros mayores que 1 pueden ser expresados como un producto de números primos. Eso se conoce como el Teorema Fundamental de la Aritmética.
  2. Criptografía: En el mundo digital, los números primos son esenciales para la seguridad de la información. Muchos sistemas de cifrado, como RSA, se basan en la dificultad de factorizar grandes números en sus factores primos.
  3. Teoría de Números: Los números primos son objeto de estudio en la teoría de números, donde se investigan sus propiedades y patrones. Por ejemplo, la famosa Conjetura de Goldbach sugiere que todo número par mayor que 2 puede ser expresado como la suma de dos números primos. Su estudio ha llevado a descubrimientos profundos y a preguntas que aún no tienen respuesta, como la famosa hi[i]pótesis de Riemann, uno de los problemas más importantes en matemáticas que aún no ha sido resuelto.

En el campo de la criptografía. Por ejemplo, los sistemas de seguridad informática, como el cifrado RSA, se basan en la dificultad de factorizar números grandes en sus componentes primos. Eso significa, que sin los números primos la seguridad de las transacciones en línea, contraseñas y comunicaciones digitales estarían en riesgo.

Eso se debe a los sistemas de criptografía de clave pública utilizan dos números primos muy grandes para generar claves de cifrado. Esas claves permiten proteger los datos de manera que solo puedan ser leídos por el destinatario correcto. El proceso se basa en una propiedad única de los números primos: multiplicar dos primos grandes es relativamente sencillo, pero descomponer ese producto en sus factores primos originales es extremadamente difícil, incluso para las computadoras más avanzadas.

Por ejemplo, si se multiplica dos números primos como 61 y 53, se obtiene 3233. Para una persona o una computadora, ese cálculo es inmediato. Sin embargo, si se tiene el número 3233 y se solicita encontrar los dos números primos que lo generaron, el proceso se vuelve mucho más complicado, especialmente cuando los números involucrados tienen cientos de dígitos.

Números primos y la era cuántica

Con la llegada de la computación cuántica, el papel de los números primos en la seguridad digital podría enfrentar un cambio radical. Las computadoras cuánticas prometen resolver problemas matemáticos complejos, como la factorización de números grandes, a una velocidad sin precedentes. Eso pondría en peligro los sistemas actuales de cifrado basados en números primos. Sin embargo, los expertos ya están trabajando en nuevas formas de cifrado que sean resistentes a los ataques cuánticos. Algunas de esas técnicas también utilizan propiedades matemáticas avanzadas, aunque aún están en desarrollo.

Curiosidades sobre los números primos

  1. Infinitos pero impredecibles: Aunque se sabe que hay infinitos números primos (demostrado por el matemático griego Euclides hace más de 2000 años), no existe una fórmula simple que permita predecir cuál será el siguiente número primo. Su distribución parece aleatoria, lo que los hace aún más intrigantes.
  2. Primos gemelos: Son parejas de números primos que están separados por solo una unidad, como 3 y 5, o 11 y 13. Los matemáticos creen que hay infinitos primos gemelos, pero esa conjetura aún no ha sido demostrada.
  3. El número primo más grande: Gracias a la computación moderna, se han descubierto números primos enormes. Actualmente este número es el 2136.279.841 ? 1, que tiene 41 024 320 dígitos cuando se escribe en base 10. Fue hallado en octubre de 2024 por la computadora voluntaria de Luke Durant para la Gran Búsqueda de Primos de Mersenne en Internet

¿Cómo se buscan los números primos?

En la antigüedad, los matemáticos usaban métodos manuales para identificar números primos, como la [ii]Criba de Eratóstenes, un algoritmo sencillo pero efectivo. Hoy en día, las computadoras realizan esa tarea, utilizando algoritmos avanzados para encontrar y verificar números primos extremadamente grandes.

Historia de los Números primos.

El Oriente prehelénico

Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de 20 000 años (anterior por tanto a la aparición de la escritura) que fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt, parecen aislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan ese hecho como la prueba del conocimiento de los números primos. Existen muy pocos hallazgos que permitan discernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquella época.

Numerosas tablillas de arcilla cocida atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lo largo del II milenio A. N. E. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época. Los cálculos requerían conocer los inversos de los números naturales, que también se han hallado en tablillas. En el sistema sexagesimal que empleaban los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60 (números regulares) se calculan fácilmente; por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.

En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división de naturales y la factorización

Antigua Grecia

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 A. N. E. y se encuentra en los “Elementos” de Euclides (tomos VII a IX). En él se definen los números primos, se demuestra que hay infinitos de ellos, se define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y se proporciona un método para determinarlos que hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Ese libro contiene asimismo el teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo de Mersenne[iii].

Cerrando

Los números primos son mucho más que una curiosidad matemática. Son herramientas esenciales en la ciencia, la tecnología y la seguridad digital. Su estudio no solo ayuda a comprender mejor el mundo de los números, sino que también tiene un impacto directo en la vida cotidiana. Llevan miles de años siendo investigados, pero todavía guardan secretos que los matemáticos tratan de descifrar.

Leonhard Euler comentó: “Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará.”

En una conferencia de 1975, el matemático germano-estadounidense Don Zagier comentó: “Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles de forma tan incontestable que quedarán permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a pesar de su definición simple y del papel que desempeñan como ladrillos con los que se construyen los números naturales, los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar

Con lo dicho hasta acá, ya sabe quién garantiza la protección de la transacción cada vez que usa Transfermovil o en EnZona. Los números primos, esos pequeños gigantes que sostienen el mundo digital.

Referencias.

[i] En matemáticas puras, la hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ?(s)

[ii] La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar muchos números primos menores que un número natural dado. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos; comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del siguiente número confirmado como primo es mayor que n.

[1] Un número de Mersenne es un número entero positivo M que es una unidad menor que una potencia entera positiva de 2: Mn=2n-1

Etiquetas: - -