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El matemático alemán David Hilbert, nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg, Prusia Oriental; actualmente Kaliningrado, Rusia. Reconocido como uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional.

Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor.

Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática fue la presentación que hizo en 1900 de un conjunto de problemas abiertos que incidió en el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.

Hilbert se graduó en el liceo de su ciudad natal y matriculó en la Universidad de Königsberg (Albertina). Obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada “Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones circulares”.

Hermann Minkowski coincidió con Hilbert en la misma universidad y momento como doctorando, y llegaron a ser amigos íntimos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia recíproca en varios momentos de sus carreras científicas.

Hilbert permaneció como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultado de la intervención en su nombre de Felix Klein, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de Göttingen, que en aquel momento era el mejor centro de investigación matemática en el mundo, donde permanecería el resto de su vida.

El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes le llevó en 1888 a la demostración en su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de generadores para formas binarias usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar ese método a funciones con más de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguir un camino completamente diferente.

Como resultado de esto, demostró el teorema fundamental de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes cuánticas en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algorítmica sino mediante un teorema de existencia. Hilbert envió sus resultados a los Mathematische Annalen. Gordan, el experto en teoría de invariantes de los Annalen, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque era insuficientemente comprensiva. Su comentario fue: “Esto es teología, ¡no matemática!”.

Klein, por otro lado, reconoció la importancia del trabajo y se aseguró de que fuese publicado sin alteraciones. Animado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert extendió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen. Tras leer el manuscrito, Klein le escribió, diciendo: “Sin duda este es el trabajo más importante en álgebra general que los Annalen han publicado nunca”. Más adelante, cuando la utilidad del método de Hilbert había sido reconocida universalmente, el propio Gordan diría: “He de admitir que incluso la teología tiene sus méritos”.

El texto “Fundamentos de la geometría”, que Hilbert publicó en 1899, sustituye los tradicionales axiomas de Euclides por sistema formal de 21 axiomas. Evitan las debilidades identificadas en los de Euclides, cuya obra clásica “Elementos” seguía siendo usada como libro de texto en aquel momento.

El enfoque de Hilbert marcó el cambio al sistema axiomático moderno. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometría puede tratar de cosas, sobre las que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar un significado explícito a los conceptos indefinidos. Como dice Hilbert, los elementos tales como el punto, la recta, el plano y otros, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que se discute y se desarrolla son sus relaciones definidas.

Hilbert propuso una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. Se reconoce de forma general que esa es la recopilación de problemas abiertos más exitosa y de profunda consideración producida nunca por un único matemático.

David Hilbert, murió en Gotinga, Alemania; el 14 de febrero de 1943.

Referencias