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Carlos del Porto Blanco.

Muchas personas a lo largo del tiempo se han hecho la pregunta ¿Qué es el infinito? No es sólo un número muy grande o algo que parece interminable, como la cantidad de granos de arena en una playa. El infinito es mucho más que eso. Es una idea tan vasta y compleja que ha fascinado a matemáticos, filósofos, físicos y artistas durante siglos. Aunque suena abstracto, el infinito está más presente en la vida cotidiana de lo que se podría imaginar. A eso dedicaré la columna de hoy.

“Dos cosas son infinitas: el universo y la estupidez humana; y yo no estoy seguro sobre el universo.” Albert Einstein.

Aunque parece simple en su definición —algo que no tiene fin—, su naturaleza es tan compleja que sigue desafiando la comprensión humana y generando debates en múltiples disciplinas.

¿Qué es el infinito?

En términos simples, el infinito se refiere a algo que no tiene límites, ya sea en tamaño, cantidad o duración. Es un concepto contrapuesto al de finitud. Sin embargo, esa aparente sencillez es engañosa. El infinito no es un número ni una cantidad concreta; es más bien un concepto abstracto que permite pensar en lo ilimitado, lo eterno y lo inconmensurable.

En matemáticas, el infinito se representa con el símbolo ? y se utiliza para describir procesos que no terminan, como una secuencia numérica que crece sin parar, o para hablar de conjuntos que tienen un número ilimitado de elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, 4, …) es infinito, porque no hay un último número. En matemáticas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos; y en teoría de conjuntos como números transfinitos.

Los antiguos griegos expresaban el infinito con la palabra apeiron, que tenía connotaciones de ser ilimitado, indefinido y sin forma. Una de las primeras apariciones del infinito en matemáticas se refiere a la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado. Pitágoras y sus seguidores inicialmente creyeron que cualquier aspecto del mundo podría expresarse mediante una disposición que involucrara solo los números enteros (0, 1, 2, 3,…), pero se sorprendieron al descubrir que la diagonal y el lado de un cuadrado son inconmensurables; es decir, sus longitudes no pueden expresarse como múltiplos de números enteros de cualquier unidad compartida (o vara de medir).

En las matemáticas modernas, ese descubrimiento se expresa diciendo que la razón es irracional y que es el límite de una serie decimal interminable y no periódica. En el caso de un cuadrado con lados de longitud 1, la diagonal es raíz cuadrada de?2, escrita como 1.414213562…, donde los puntos suspensivos (…) indican una secuencia interminable de dígitos sin patrón.

Tanto Platón como Aristóteles compartían el aborrecimiento general griego por la noción de infinito. Aristóteles influyó en el pensamiento posterior durante más de un milenio con su rechazo del infinito «real» (espacial, temporal o numérico), que distinguió del infinito «potencial» de poder contar sin fin. Para evitar el uso del infinito real, Eudoxo de Cnido y Arquímedes desarrollaron una técnica, conocida más tarde como método de agotamiento, mediante la cual se calculaba un área dividiendo a la mitad la unidad de medida en etapas sucesivas hasta que el área restante estaba por debajo de un valor fijo (la región restante había sido «agotada»).

La cuestión de los números infinitamente pequeños llevó al descubrimiento del cálculo a finales del siglo XVII por parte del físico y matemático inglés Isaac Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton introdujo su propia teoría de los números infinitamente pequeños, o infinitesimales, para justificar el cálculo de las derivadas o pendientes. Para encontrar la pendiente (es decir, el cambio en y sobre el cambio en x) para una recta que toca una curva en un punto dado (x, y), encontró útil observar la relación entre dy y dx, donde dy es un cambio infinitesimal en y producido al mover una cantidad infinitesimal dx desde x. Los infinitesimales fueron duramente criticados y gran parte de la historia temprana del análisis giró en torno a los esfuerzos por encontrar una base alternativa y rigurosa para el tema. El uso de números infinitesimales finalmente ganó una base firme con el desarrollo del análisis no estándar por parte del matemático alemán Abraham Robinson en la década de 1960.

Un uso más directo del infinito en matemáticas surge con los esfuerzos por comparar los tamaños de conjuntos infinitos, como el conjunto de puntos en una línea (números reales) o el conjunto de números para contar. Los matemáticos rápidamente se dan cuenta de que las intuiciones ordinarias sobre los números son engañosas cuando se habla de tamaños infinitos. Los pensadores medievales eran conscientes del hecho paradójico de que los segmentos de recta de diferentes longitudes parecían tener el mismo número de puntos.

A principios del siglo XVII, el científico italiano Galileo Galilei abordó ese tema y obtuvo un resultado no intuitivo similar conocido ahora como la paradoja de Galileo. Galilei demostró que el conjunto de números para contar podía ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto aparentemente mucho más pequeño de sus cuadrados. De manera similar, demostró que el conjunto de números para contar y sus dobles (es decir, el conjunto de números pares) podían emparejarse. Galileo concluyó que “no podemos hablar de cantidades infinitas como si una fuera mayor, menor o igual a otra”. Esos ejemplos llevaron al matemático alemán Richard Dedekind en 1872 a sugerir una definición de conjunto infinito como aquel que podría establecerse en una relación uno a uno con algún subconjunto adecuado.

La confusión sobre los números infinitos fue resuelta por el matemático alemán Georg Cantor a partir de 1873. Primero Cantor demostró rigurosamente que el conjunto de los números racionales (fracciones) tiene el mismo tamaño que los números de conteo; de ahí que se les llame contables o numerables. Eso no fue una verdadera sorpresa, pero más tarde, ese mismo año, Cantor demostró el sorprendente resultado de que no todos los infinitos son iguales. Utilizando el llamado «argumento diagonal», Cantor demostró que el tamaño de los números contables es estrictamente menor que el tamaño de los números reales. Ese resultado se conoce como teorema de Cantor.

Para comparar conjuntos, Cantor primero distinguió entre un conjunto específico y la noción abstracta de su tamaño o cardinalidad. A diferencia de un conjunto finito, un conjunto infinito puede tener la misma cardinalidad que un subconjunto propio de sí mismo. Cantor utilizó un argumento diagonal para mostrar que la cardinalidad de cualquier conjunto debe ser menor que la cardinalidad de su conjunto potencia, es decir, el conjunto que contiene todos los subconjuntos posibles del conjunto dado. En general, un conjunto con n elementos tiene un conjunto potencia con 2n elementos, y esas dos cardinalidades son diferentes incluso cuando n es infinito. Cantor llamó a los tamaños de sus conjuntos infinitos «cardinales transfinitos». Sus argumentos demostraron que hay cardinales transfinitos de infinitos tamaños diferentes (como los cardinales del conjunto de números contables y el conjunto de números reales).

El símbolo de infinito

El símbolo con que se expresa el infinito fue introducido a la notación matemática por el matemático inglés John Wallis del siglo XVII en una de sus obras más importantes: Arithmetica Infinitorum en 1656. En 1694 fue creada la representación gráfica lemniscata por Jacob Bernoulli. También se cree posible que la forma provenga de otros símbolos alquímicos o religiosos, como por ejemplo ciertas representaciones de la serpiente uróboros.

Otra hipótesis defiende que el símbolo parece la representación gráfica del fenómeno conocido como analema solar. El analema solar se trata de una foto o de una gráfica del sol, registrada todos los días durante un año a la misma hora y en el mismo lugar, al reunir los puntos se ve que se dibuja una lemniscata debido a la inclinación del eje terrestre que varía el ángulo en el que se visualiza el sol a lo largo de un año, quedando en el punto más alto el solsticio de verano y en el más bajo el solsticio de invierno, su forma varía levemente dependiendo del punto geográfico de la tierra desde donde se registre. Eso simboliza un «ciclo Anual» a su vez en el ciclo infinito del sol año tras año. Se ha querido ver también una banda de Möbius en su forma, aunque el símbolo se usó durante cientos de años antes de que August Möbius descubriera la banda que lleva su nombre.

El infinito en la ciencia y la filosofía

El infinito no solo es un tema central en matemáticas, sino también en física y cosmología. En el universo, por ejemplo, se hace la pregunta si el cosmos es infinito en extensión o si tiene un límite. Aunque las observaciones actuales sugieren que el universo es finito en edad (unos 13 800 millones de años), su tamaño y forma siguen siendo un misterio. Lo que sí se sabe es que el universo observable —la parte que se puede estudiar con los telescopios— mide aproximadamente 93 mil millones de años luz de diámetro. Pero más allá de eso, ¿qué hay? ¿Más espacio? ¿Otro tipo de realidad? Nadie lo sabe con certeza. Algunas teorías proponen que el universo podría ser infinito, lo que plantea preguntas profundas sobre la naturaleza de la realidad.

Además, el infinito aparece en teorías fundamentales como la relatividad general y la mecánica cuántica. Por ejemplo, en los agujeros negros, la gravedad es tan intensa que crea singularidades, puntos donde ciertas propiedades, como la densidad, se vuelven infinitas. Eso plantea desafíos enormes para los físicos, porque las ecuaciones actuales no pueden manejar valores infinitos.

En filosofía, el infinito ha sido un tema de reflexión desde la antigüedad. Pensadores como Aristóteles ya discutían si el infinito podía existir en la realidad o si era solo una abstracción mental. En la Edad Media, filósofos y teólogos debatían si Dios, como ser omnipotente, podía ser considerado infinito. Kant exploró la idea de lo infinito en relación con la existencia y la naturaleza del universo Hoy, el infinito sigue siendo un concepto clave en discusiones sobre la existencia, el tiempo y el espacio.

Paradojas del infinito

Uno de los aspectos más intrigantes del infinito son las paradojas que genera. Por ejemplo, ya se habló antes de Cantor quien demostró que no todos los infinitos son iguales. Existen infinitos más grandes que otros, algo que desafía la intuición humana. Cantor introdujo el concepto de «números transfinitos» para describir diferentes tamaños de infinito, como el infinito de los números naturales y el infinito de los números reales, que es mayor. una distinción basada en su densidad.

Otra paradoja clásica es la paradoja de Hilbert, que imagina un hotel con un número infinito de habitaciones, todas ocupadas. A pesar de estar lleno, el hotel podría acomodar a un nuevo huésped simplemente moviendo a cada persona a la habitación siguiente. Esa idea, aunque parece absurda, ilustra cómo el infinito desafía las nociones cotidianas de espacio y capacidad.

Un equipo de la Universidad Tecnológica de Viena identificó dos nuevos tipos de infinitos: los “cardinales exactos” y los “ultra exactos”, desafiando la teoría jerárquica establecida por George Cantor. Ese hallazgo podría trastocar las bases de la comprensión matemática del infinito y plantear interrogantes sobre axiomas fundamentales como el de elección. Sin embargo, Juan Aguilera, autor principal del estudio, explica que los “cardinales exactos” y los “ultra exactos” no encajan en la jerarquía actual del infinito, regida por la Teoría Axiomática de Zermelo-Fraenkel. “Esas nuevas dimensiones infinitas interactúan de una manera extraña con las nociones existentes, generando un caos en las reglas tradicionales”, afirma Aguilera.

Para comprender su hallazgo, los investigadores comparan los nuevos infinitos con una casa que contiene copias exactas de sí misma y versiones reducidas de conjuntos más grandes, como si albergara también modelos del barrio o de la ciudad. Además, los “ultra exactos” incluyen reglas matemáticas que definen cómo construir dichas copias, lo que añade complejidad al problema y pone en jaque las bases de la teoría axiomática.

Ese caos matemático tiene implicaciones mayores: uno de los axiomas centrales, el axioma de elección, establece que siempre es posible formar un conjunto nuevo eligiendo elementos de otro, incluso si no se especifica cómo. No obstante, algunos matemáticos sostienen que el axioma no se sostiene en el caso de infinitos particularmente densos. El infinito, lejos de ser una idea abstracta y resuelta, demuestra una vez más ser un territorio inexplorado y repleto de sorpresas, capaz de alterar las reglas del juego matemático y, quizás, abrir una nueva era en el estudio de lo incalculable.

El infinito en la cultura popular

El infinito también ha capturado la imaginación de artistas, escritores y cineastas. Desde los antiguos griegos, quienes temían al infinito porque lo veían como caótico e incontrolable, hasta pensadores modernos como David Hilbert, quien exploró sus paradojas, el infinito ha sido una fuente de asombro y debate. En el arte, el infinito se representa de maneras sorprendentes. Piense en los dibujos de M.C. Escher, donde escaleras y figuras geométricas crean ilusiones ópticas que parecen continuar eternamente. O en la música minimalista de compositores como Philip Glass, cuyas piezas juegan con patrones repetitivos que sugieren una duración sin fin.

El símbolo del infinito (?) se ha convertido en un ícono que representa lo eterno y lo ilimitado. En la literatura, autores como el argentino Jorge Luis Borges han explorado el infinito en cuentos como «La biblioteca de Babel», donde imagina una biblioteca infinita que contiene todos los libros posibles. En el cine, películas como «Interstellar» han utilizado el concepto del infinito para explorar temas como el tiempo, el espacio y la supervivencia humana. La idea de viajar a través de un agujero de gusano o de existir en una dimensión infinita ha fascinado al público y ha llevado el infinito más allá de los límites de la ciencia y la filosofía.

¿Se puede comprender el infinito?

A pesar de los avances en matemáticas y física, el infinito sigue siendo un concepto difícil de asimilar. El cerebro humano está diseñado para pensar en términos finitos, lo que hace que la idea de algo sin límites sea casi incomprensible. Sin embargo, el infinito invita a expandir la mente y a cuestionar las suposiciones que se tienen sobre el mundo.

En última instancia, el infinito es más que un concepto matemático o científico; es una ventana a lo desconocido, un recordatorio de que, por mucho que se avance, siempre habrá misterios que desafíen la comprensión que tienen los humanos sobre lo que los rodea. Y tal vez, en ese desafío, se encuentren nuevas formas de entender no solo el universo, sino también la propia existencia humana.

El Infinito en la Vida Cotidiana

Aunque el infinito puede parecer un concepto lejano, está más cerca de lo que se piensa. Cada vez que se usa el teléfono móvil o se navega por internet, se está interactuando con algoritmos que, en teoría, podrían ejecutarse infinitamente si no se les pusiera un límite. Además, la idea del infinito invita a reflexionar sobre temas profundos, como el tiempo, la eternidad y el lugar del ser humano en el cosmos.

Por ejemplo, ¿qué significa vivir en un universo potencialmente infinito? ¿Cómo afecta eso la percepción de la vida y la muerte? Esas preguntas no tienen respuestas fáciles, pero recuerdan que el infinito no es solo un problema técnico para los científicos; es también una invitación a soñar, imaginar y cuestionar.

El infinito es un concepto que desafía la comprensión humana y recuerda lo pequeño que es el ser humano frente a la inmensidad del universo. Ya sea en las matemáticas, la física, la filosofía o el arte, el infinito sigue siendo una fuente inagotable de inspiración y misterio. Tal vez nunca se llegue a comprenderlo completamente, pero quizás esa sea precisamente su belleza: nos invita a seguir explorando, preguntando y maravillándonos. La próxima vez que mire al cielo nocturno o pienses en números gigantescos, recuerda que el infinito está ahí, esperando ser imaginado.

Referencias

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