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Carlos del Porto Blanco

El verdadero tesoro de las matemáticas no está en sus resultados, sino en la forma en que transforman nuestro pensamiento. Carl Friedrich Gauss.

En la Italia renacentista de comienzos del siglo XVI uno de los espectáculos callejeros más populares en la ciudad universitaria de Bolonia eran los duelos. Pero no solo los de espadas. También había combates puramente intelectuales. Se trataba de desafíos matemáticos, en los que dos o más expertos batallaban por encontrar la solución a un problema. El duelo se llevaba a cabo en plazas públicas y era seguido por muchos de sus habitantes.

Fue en esta época que algunos matemáticos italianos se percataron de que algunas ecuaciones eran imposibles de resolver. En particular, aquellas cuya resolución requería calcular la raíz cuadrada de números negativos. Eso es debido a que cuando se multiplican dos números negativos, el resultado siempre es un valor positivo. Por ejemplo: -2 × -2 = 4 (no -4). A la solución de estos acertijos matemáticos le dedicaremos la columna de hoy. Conversaremos sobre los números imaginarios.

Un número imaginario es un número imaginario puro (número complejo con parte real igual a cero). Por ejemplo, 6i es un número imaginario, así como i y -i son también números imaginarios. En general un número imaginario es de la forma (0,bi), donde b es un número real. Éstos valores están más presentes en nuestra vida cotidiana de lo que imaginamos; desempeñan un papel fundamental en una amplia gama de aplicaciones prácticas, abarcando desde la ciencia y la ingeniería hasta el arte o la economía. Dicho esto, manos a la obra.

¿Qué son los números imaginarios?

Los números imaginarios son una extensión del concepto de número en matemáticas, creados para resolver ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales. El ejemplo más simple es la raíz cuadrada de un número negativo: en los números reales, no existe ningún número que al multiplicarse por sí mismo dé como resultado un valor negativo. Por eso, los matemáticos imaginaron una nueva unidad, llamada i, definida como la raíz cuadrada de -1 (i2=?1i2=?1)

Puede ser un gráfico de texto que dice "i=V-1 ?-1 La "unidad imaginaria" en Italia. mj" es la ralz cuadrada de 1. 1,un un número que fue inventado en el siglo XVI"

Tomado de BBC Mundo

Un número imaginario puro es aquel que tiene la forma bibi, donde bb es un número real y ii es la unidad imaginaria. Cuando se suma un número real a un número imaginario, se obtiene un número complejo, de la forma a+bia+bi.

Estos números son cifras que surgen en el siglo XVI a la raíz de la necesidad de resolver una ecuación polinómica que, aunque parece muy simple, no lo es: x2 + 1 = 0. Para los matemáticos de la época supuso un gran misterio pues entre los números reales no existe ninguno que al multiplicarlo por sí mismo tenga como resultado -1. Como solución y de forma casi artificial, inventaron ese número del que carecían, llamándolo i.

Esa unidad imaginaria, i, fue el origen de los números complejos, cifras que responden a la forma a+ bi, y que contienen dos partes: una real (a) y otra imaginaria (bi). Y, aunque el objetivo inicial de la introducción de esos números era, simplemente, el poder resolver ese tipo de ecuaciones sin ningún problema, con el paso de los años se fueron encontrando otras muchas propiedades que poseen esos números y que permiten aplicarlos de forma eficaz y práctica en ciertos aspectos de la vida cotidiana.

Orígenes y desarrollo histórico

Aunque el matemático e ingeniero griego Herón de Alejandría es señalado como el primero en presentar un cálculo que implicaba la raíz cuadrada de un número negativo. El concepto de números imaginarios surge en el siglo XVI, cuando los matemáticos buscaban resolver ecuaciones cúbicas y cuadráticas que, en ocasiones, requerían operar con raíces de números negativos. El italiano Niccolo Fontana (alias Tartaglia) y Gerolamo Cardano se dieron cuenta de que, si permitían la existencia de raíces cuadradas negativas, podían resolver ecuaciones verdaderas -o con «números reales», como se conoce a los números que poseen una expresión decimal-. Esto lo convirtió en ser de los primeros en mencionar la idea en su obra «Ars Magna«, aunque no comprendía del todo su significado

Fue así como crearon una unidad nueva, imaginando la raíz cuadrada de -1 (o ?-1 en términos matemáticos). En 1572, otro matemático renacentista, Rafael Bombelli, explicó cómo funcionaba la aritmética con ese nuevo concepto, en una obra llamada «Álgebra». Allí señaló que la unidad nueva no era positiva ni negativa y, por lo tanto, no obedecía las reglas habituales de la aritmética. Otro matemático que dedico tiempo a este tema fue Ludovico Ferrari. Por cerca de un siglo muchos pensadores rechazaron esa nueva idea, llamando a esta unidad inventada «ficticia, imposible o sin sentido».

Uno de sus detractores fue el filósofo francés René Descartes, quien en su obra «La Géométrie» (1637) bautizaría a la invención con el término despectivo de «números imaginarios». Pasarían muchas décadas más para que los matemáticos empezaran a aceptar a esos números imaginarios, que desafiaban la lógica, como algo válido y genuino. En 1707, otro francés, Abraham de Moivre, relacionó los números imaginarios con la geometría, logrando así usar esa disciplina para resolver complejos problemas algebraicos. Setenta años más tarde, los números imaginarios tendrían finalmente su propio símbolo: i (gracias al matemático suizo Leonhard Euler), quien además exploró sus propiedades.

Más adelante Carl Friedrich Gauss y Augustin-Louis Cauchy contribuyeron a su aceptación y desarrollo formal. La representación geométrica de los números complejos (que incluyen a los imaginarios) como puntos en un plano fue propuesta por Jean-Robert Argand en 1811 y popularizada por Gauss en 1831, lo que permitió visualizar y operar con ellos de manera más intuitiva.

Puede ser una imagen de texto que dice "Im z=xtiy r ? ? x Re r z=x-iy"

Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.

Tomado de National Geographic.

El uso de los números imaginarios permitiría extender el sistema de números reales (R) al sistema de números complejos (C), donde se combinan números reales con números imaginarios. Quizás todo esto suena como algo completamente abstracto y sin utilidad real, que solo podría interesarles a intelectuales que viven en el mundo de las ideas, pero esa está lejos de la realidad. En el siglo XX, los números imaginarios empezaron a tener muchos usos prácticos, permitiendo a ingenieros y físicos, entre otros especialistas, resolver problemas que de otra forma no hubieran tenido solución.

Algunos datos de interés.

  • Herón de Alejandría (siglo I A.N.E.) ya esbozó la idea de raíces negativas, aunque no llegó a formalizar el concepto.
  • Rafael Bombelli (1572) fue el primero en establecer reglas para operar con raíces cuadradas de números negativos.
  • René Descartes (1637) acuñó el término «imaginario» en su obra «La Géométrie«, con un matiz peyorativo.
  • Leonhard Euler (1777) asignó la letra i para designar la raíz de -1. Euler introdujo la famosa fórmula: [e^{i\pi} + 1 = 0] que conecta cinco de las constantes más importantes en matemáticas: e, i, ?, 1 y 0. Esa fórmula es considerada una de las expresiones más bellas y profundas en matemáticas, y muestra la relación entre los números imaginarios y otros conceptos fundamentales.
  • Jean-Robert Argand (1811) introdujo el plano complejo, permitiendo una representación visual de los números imaginarios y complejos.
  • Carl Friedrich Gauss (1831) formalizó la teoría de los números complejos y ayudó a su aceptación definitiva.
  • El matemático británico Augustus De Morgan llegó a decir que eran «un monstruo de las matemáticas».
  • Los números imaginarios se convierten en una herramienta fundamental en la teoría de la relatividad de Albert Einstein (siglo XX)
  • El físico ganador del Premio Nobel de Física, Richard Feynman, llamó a la fórmula de Euler (ei?+1=0ei?+1=0) «la fórmula más notable de las matemáticas», pues une cinco constantes fundamentales en una sola ecuación.

Una anécdota curiosa es la resistencia de los propios matemáticos a aceptar esos números. Gottfried Leibniz los describió como «ese anfibio entre el ser y el no ser», reflejando la confusión y el escepticismo de la época

Ejemplos y aplicaciones actuales

En el campo de las Telecomunicaciones los números imaginarios y complejos están detrás de algunas de las tecnologías más comunes que usamos. Estos números resultaron especialmente valiosos cuando se inventó la electricidad, al ser muy útiles para analizar cualquier elemento que se expresa en forma de ondas (como las eléctricas). La ingeniería eléctrica utiliza números complejos, en los que «i» es usado para indicar la amplitud y la fase de una oscilación eléctrica.

Sin estos números, no se hubiera podido desarrollar las telecomunicaciones. No existiría la radio, la televisión o internet, y hoy usted no podría estar leyendo esta nota en su dispositivo móvil. Los números imaginarios también permitieron todo tipo de desarrollos tecnológicos y científicos, desde el radar y los sistemas de posicionamiento global, hasta la resonancia magnética y las neurociencias.

La física cuántica reduce todas las partículas a formas de onda, lo que significa que los números complejos son fundamentales para comprender ese extraño mundo. No sólo podrían ser clave para el futuro, sino que algunos exertos aventuran que eventualmente podrían servir para responder una de las grandes incógnitas que hoy no tiene una respuesta: ¿qué pasó antes del Big Bang y cuándo empezó realmente el tiempo?

La clásica teoría general de la relatividad de Albert Einstein vinculó el tiempo con las tres dimensiones espaciales con las que todos estamos familiarizados (arriba-abajo, izquierda-derecha y adentro-afuera), creando un «espacio-tiempo» cuatridimensional en el que el tiempo solo puede avanzar. Una teoría brillante, pero cuando se aplica a la creación del Universo surgen problemas. Pero si se invoca la teoría cuántica y se le agregas algo de tiempo imaginario, todo empieza a cobrar sentido… al menos para los cosmólogos. El tiempo imaginario se mide en números imaginarios y, a diferencia del tiempo real, puede avanzar y retroceder como una dimensión espacial adicional. Y eso le da al Big Bang un momento para comenzar. Hay que esperar para conocer el desenlace.

Aunque el mundo de la economía está, de alguna forma, arraigado a los números reales, la inclusión de números imaginarios en algunos contextos puede otorgar perspectivas más completas y precisas de algunas situaciones. Por ejemplo, en el moldeado de intereses compuestos deben usarse números complejos, pues se debe representar con mucha precisión la acumulación de capital con el tiempo, lo que requiere de una parte real y de otra imaginaria. En campo de los ciclos económicos aparecen también los números imaginarios. En ese escenario, al estudiar diferentes series temporales económicas, éstas se deben descomponer en ciertos ciclos de frecuencia, los cuales involucran números complejos. Son técnicas que permiten identificar patrones económicos, tendencias o periodos de estabilidad en el mercado.

En la mecánica de fluidos (hidrodinámica o aerodinámica) que estudia el comportamiento de los fluidos como el aire en los contornos de un avión o un automóvil. En la mecánica de fluidos en dos dimensiones (plano) se utilizan los números complejos porque permiten una modelación más simple de los fenómenos como el flujo alrededor de un obstáculo. Una herramienta que utiliza los números complejos es la transformación conforme de Joukovsky que permite calcular el perfil de las alas de los aviones. Los números complejos también están presentes en el diseño hidrodinámico de buques al permitir una reducción de las fricciones y por tanto del consumo de combustibles.

Pero quizás, el ámbito en el que más sorprende la aparición de este curioso artificio matemático es en el arte. Y es que, aunque éste se trata de una disciplina muchas veces más ligada a la expresión emocional que a los cálculos, los números imaginarios desempeñan un papel sorprendente en los relativo a la inspiración y a la representación, siendo el ejemplo más significativo el del arte fractal. Los fractales son patrones geométricos infinitamente repetidos y generados mediante números complejos.

También, en el mundo de la fotografía y la edición de imágenes, los números complejos juegan un papel importante, al ser necesarios para que los sistemas digitales procesen las imágenes, lo que permite a los diseñadores crear efectos visuales y manipularlas de una manera creativa e innovadora. Incluso en los videojuegos, la creación de mundos virtuales y de entornos y paisajes realistas ha requerido la incorporación de los números imaginarios en los procesos de diseño, mostrando, una vez más, la versatilidad de esas curiosas cifras.

Algunas plecas a considerar:

  • La ecuación x2+1=0x2+1=0 no tiene solución en los números reales, pero sí en los imaginarios: x=ix=i y x=?ix=?i
  • En ingeniería eléctrica, la unidad imaginaria se usa como jj para evitar confusión con la corriente eléctrica (ii), y es fundamental en el análisis de circuitos y señales.
  • En física cuántica, los números imaginarios aparecen en la formulación de la función de onda y en la ecuación de Schrödinger.
  • En informática y procesamiento de señales, los números complejos (y, por tanto, los imaginarios) son esenciales para la transformada de Fourier y el análisis de frecuencias.

 Llegado a este punto, se puede decir que, aunque su nombre sugiere lo contrario, los números imaginarios son tan reales y útiles como cualquier otro tipo de número. Su desarrollo, va desde una idea rechazada y considerada absurda hasta convertirse en una herramienta fundamental de la ciencia contemporánea, es un ejemplo de cómo la matemática evoluciona para dar respuesta a los desafíos que plantea la realidad y la abstracción. Hoy, los estos números son parte esencial del lenguaje de la tecnología, la física, la ingeniería, la economía y el arte.

Referencias.

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