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Carlos del Porto Blanco

La mayoría de las personas conocen el número pi. Es posible que sea el primer número que se viene a la cabeza cuando se piensa en las cifras más fascinantes de las matemáticas: los números irracionales. Sin embargo, en esa misma lista se encuentran muchos otros que pueden llamar igualmente la atención como son el número phi – más conocido como áureo – o el más desconocido número e. Este último, aunque suele quedar algo opacado por sus compañeros, representa una de las piezas más importantes a la hora de resolver problemas complejos y dar explicación a muchos de los sucesos que nos rodean. A este valor numérico, dedicaré la columna de hoy.

No basta con tener una buena mente; lo principal es usarla bien. Leonardo Euler.

En el panteón de las constantes matemáticas, el número ? suele acaparar la fama. Sin embargo, existe otra cifra, apenas menos trascendental, que late en el corazón de casi todo proceso de cambio continuo en la naturaleza, la economía y la tecnología: el número e, cuyo valor aproximado es 2,718281828459045… Denominado “número de Euler” en honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707 – 1783), e es una constante irracional y trascendente que emerge inevitablemente cada vez que una magnitud crece o decrece a una tasa proporcional a su valor actual. Su historia es un relato de intuiciones prácticas, genio analítico y, finalmente, una demostración de trascendencia que tardó casi dos siglos en llegar.

En matemáticas, en el área de la teoría de números sintéticos, los números de Euler son una secuencia En de números enteros definidos por un desarrollo de la serie de Taylor. Los números de Euler aparecen como un valor especial en los polinomios de Euler. Algunos matemáticos alteran los desarrollos para así poder evitar los ceros derivados de los valores impares y para convertir todos los valores en números positivos. Los números de Euler aparecen en los desarrollos de Taylor de la secante y de la secante hiperbólica.

En física, el número de Euler es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos. Expresa la relación entre la energía asociada a una pérdida de presión por unidad de volumen (por ejemplo, un estrechamiento) respecto a la energía cinética por unidad de volumen del flujo. Se usa para caracterizar pérdidas de carga en el flujo: por ejemplo, a un flujo horizontal sin fricción le corresponde un número de Euler nulo, y cuanta más pérdida de carga se produzca en su movimiento, mayor será su número de Euler. El inverso del número de Euler (relación entre las fuerzas de inercia y las de presión diferencial) se conoce como número de Ruark, de símbolo Ru.

De los intereses bancarios a la inmortalidad matemática

La historia de esta curiosa cifra se remonta al siglo XVII, un momento en el que los pensadores y matemáticos de la época se encontraban inmersos en el estudio de las diferentes funciones existentes. En concreto, había dos que les fascinaban: las exponenciales y las logarítmicas. Era ese afán por entender e identificar problemas de crecimiento continuo lo que les llevó a identificar una constante fundamental. En concreto, fue el matemático escocés John Napier quien introdujo el concepto de logaritmos en el año 1614, sentando las bases para el surgimiento del número e.

A diferencia de Pi la introducción del número e en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera que este último tuvo un origen analítico y no geométrico, como el primero. En las palabras de Eli Maor.

“La historia de Pi ha sido extensivamente contada, sin duda no solo porque su historia se trae desde tiempos antiguos, sino también porque mucho de él puede ser entendido sin un conocimiento avanzado de las matemáticas. Quizá ningún libro fue mejor que Historia de Pi de Petr Beckmann, un modelo de exposición popular pero también claro y preciso. Al número e no le fue tan bien. No solo es de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el cálculo, el tema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas «más elevadas».

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier. No obstante, esa tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ella. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred. Unos años más tarde, en 1624, e se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una aproximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no mencionó al número e explícitamente en su trabajo.

La siguiente aparición de e es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Sí reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a debate, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara con e explícitamente. Quien sí comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curva yx=1 El número e es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esa curva a partir de 1 sea igual a 1. Esa es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión.

Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que e es descubierto, sino del estudio del interés compuesto, problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683. Si se invierte una Unidad Monetaria (abreviada en lo sucesivo como UM) con un interés del 100 % anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán dos UM. Si se pagan los intereses dos veces al año, dividiendo el interés entre dos, la cantidad obtenida es una UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2.25 UM. Si se divide el año en cuatro períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414….

Bernoulli utilizó el teorema del binomio para mostrar que dicho límite se encontraba entre 2 y 3. Se puede considerar que esa es la primera aproximación encontrada para e Incluso si se acepta esa como una definición de e sería la primera vez que un número se define como un proceso de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas, que expresa que ese número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100 % anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará Cer UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. Euler realizó varios aportes en relación con e en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó su Introductio in analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre e.

La pasión que guió a mucha gente a calcular más y más cifras decimales de Pi nunca pareció replicarse de la misma manera para e Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fue William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales de Pi. James Whitbread Lee Glaisher mostró que los primeros 137 lugares de Shanks para el cálculo de e eran correctos, pero encontró un error que, tras ser corregido por el propio Shanks, arrojó cifras decimales de e hasta el lugar 205.

Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo de e en base 10 con 272 cifras exactas. En 1873, Charles Hermite logró demostrar que es trascendente. A dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continúas empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert (también Karl Weierstrass y otros), propuso posteriormente variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.

La identidad de Euler y la belleza en una línea

Si existe un momento poético en la historia de las matemáticas, es la llamada identidad de Euler: e^(i?) + 1 = 0. Esa ecuación, derivada de la fórmula de 1748, vincula en una sola expresión a las cinco constantes más importantes de la matemática: e, i (la unidad imaginaria), ?, 1 y 0. El físico Richard Feynman la llegó a describir como “la fórmula más notable de la matemática”. Euler, ciego durante los últimos 17 años de su vida, produjo en ese periodo casi la mitad de sus más de 800 trabajos, demostrando que la visión matemática no requiere ojos, sino imaginación.

Irracionalidad y trascendencia: el largo camino hacia la certeza

A pesar de su utilidad, durante siglos la naturaleza exacta de e permaneció enigmática. Saber que no podía expresarse como fracción (irracionalidad) fue apenas el primer paso. La pregunta decisiva era si e era algebraico —es decir, raíz de alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros— o trascendente.

La respuesta llegó en 1873, cuando el matemático francés Charles Hermite (1822 – 1901) publicó una demostración rigurosa de que e es trascendente: no existe ningún polinomio con coeficientes racionales que tenga a e como raíz. Nueve años después, en 1882, Ferdinand von Lindemann adaptaría las técnicas de Hermite para demostrar la trascendencia de ?. Esa trascendencia de e no es un mero detalle técnico: implica que e no puede construirse con regla y compás, ni expresarse mediante raíces anidadas de números racionales. Es, en el sentido más profundo, un número “salvaje”.

Curiosamente, aunque hoy se atribuye a Euler la paternidad simbólica de e, historiadores advierten que precisar una fecha única de “descubrimiento” es casi imposible. El número surgió de forma experimental en contextos tan dispares, mencionados anteriormente, como el interés compuesto de Bernoulli, el área bajo la hipérbola y = 1/x estudiada por Gregoire de Saint-Vincent, y las tablas de logaritmos de John Napier. Fue Euler quien lo unificó, nombró y reveló su estructura, pero e era, en cierto modo, una constante latente esperando ser reconocida.

Utilidad actual: dónde late e en el siglo XXI

La relevancia de e trasciende ampliamente el ámbito académico. En finanzas, la fórmula del interés compuesto continuo A = P·e^(rt) permite calcular el valor futuro de inversiones con capitalización instantánea, un modelo estándar en banca de inversión y econometría. En biología y medicina, las dinámicas de crecimiento poblacional, la propagación de virus y la degradación de fármacos siguen leyes exponenciales con base e. En física, la desintegración radiactiva se modela mediante N(t) = N?·e^(-?t), y la distribución de velocidades moleculares en termodinámica depende del factor de Boltzmann, que emplea e en su núcleo.

Incluso en la tecnología digital, e es invisible pero omnipresente: la función de densidad de la distribución normal —la famosa “campana de Gauss” que sustenta la inteligencia artificial, la estadística inferencial y el diseño de redes neuronales— contiene e en su numerador. Sin esa constante, el aprendizaje automático contemporáneo, los filtros de señal y la teoría de la información serían inconcebibles en su forma actual.

Principales reservas y hechos de cultura matemática

A pesar de su omnipresencia, el número e arrastra ciertas “reservas” históricas y culturales. La primera es su relativa oscuridad popular frente a ?: mientras este valor cuenta con su propio día internacional (14 de marzo) y aparece en películas y libros de divulgación, e carece de una celebración masiva equivalente, aunque los matemáticos conmemoran el Día de Euler cada 15 de abril. Durante décadas existió una disputa de prioridad sobre quién “descubrió” realmente el cálculo infinitesimal —Newton o Leibniz— que nubló el contexto en el que e maduró, dificultando atribuciones limpias.

Entre los hechos notables, cabe destacar que el Proyecto Euler, una plataforma de programación computacional para resolver problemas matemáticos, lleva su nombre en honor al matemático. Asimismo, el famoso problema de los puentes de Königsberg, resuelto por Euler en 1736, inauguró la teoría de grafos y sentó bases conceptuales para la topología moderna.

Principales Reservas y Precisiones

Aunque e es una herramienta indispensable, su aplicación requiere precaución:

  1. Idealización del crecimiento continuo: En biología o economía, aunque los modelos exponenciales son útiles, ningún sistema real crece de forma exponencial para siempre. Existen limitaciones físicas (capacidad de carga, recursos finitos) que eventualmente frenan el crecimiento. e modela la tendencia inicial o teórica, pero debe complementarse con logística para periodos largos.
  2. Naturaleza Trascendente: No se puede calcular e con una fórmula algebraica cerrada. Siempre se debe recurrir a límites o series infinitas para obtener su valor numérico. Eso implica que cualquier representación decimal de e en una calculadora es una aproximación, aunque con una precisión extraordinaria.
  3. Diferenciación entre logaritmo natural y decimal: Es crucial recordar que el logaritmo natural (ln) es la inversa de ex. La confusión entre logaritmo base 10 y base e puede llevar a errores de órdenes de magnitud en cálculos de ingeniería química o física.

Existe una brecha didáctica documentada: la enseñanza tradicional suele presentar e como un dato memorizable, sin contextualizar su emergencia natural en procesos dinámicos. Esto genera la percepción errónea de que es una convención humana, cuando en realidad es una propiedad estructural del continuo matemático. Tampoco posee “productores” en sentido industrial; su cálculo, validación y difusión dependen de colaboraciones académicas, repositorios abiertos y computación distribuida, sin patentes ni control corporativo. Finalmente, su uso en modelos predictivos conlleva una reserva inherente: las ecuaciones diferenciales basadas en e asumen continuidad y determinismo, condiciones que en sistemas caóticos o con ruido estocástico requieren correcciones probabilísticas o discretizaciones cuidadosas.

Algunas y curiosidades

  • Euler fue tan prolífico que se dice que “llenó más páginas de matemáticas que cualquier otro matemático en la historia”.
  • Identidad de Euler: Considerada por muchos la ecuación más bella de las matemáticas, vincula cinco constantes fundamentales: ei?+1=0. Relaciona el cálculo (e), la geometría (?), el álgebra (i), la aritmética (1 y 0).
  • En 2024, la revista National Geographic destacó cómo e sigue siendo clave para explicar fenómenos cotidianos como el crecimiento de inversiones o la propagación de epidemias.
  • El «Día de e»: El 7 de febrero (2/7 en formato estadounidense) se celebra informalmente el «Día de e», mientras que el 27 de enero (27/1) es la «Semana de e» por la aproximación 2.71828.
  • Récord de decimales: Impulsados por la computación, los récords de cálculo de e han superado con creces a los de ? en ciertas épocas.
  • 2020–2024: Récords computacionales superan los 10¹? dígitos, impulsados por algoritmos de multiplicación rápida y hardware de precisión arbitraria.
  • 2025–2026: Investigaciones en análisis numérico y teoría de matrices aleatorias exploran cómo la distribución de e en secuencias generadas por procesos estocásticos puede optimizar la inicialización de redes neuronales y la estabilidad de simulaciones climáticas.

El número e no es una invención arbitraria de algún matemático solitario: Es la firma matemática del cambio suave y continuo. Es una constante que la naturaleza misma seleccionó para describir cualquier proceso de cambio proporcional. Desde la obsesión de Jacob Bernoulli por los intereses bancarios hasta la demostración de trascendencia de Charles Hermite en 1873, pasando por la ceguera prodigiosa de Leonhard Euler, la historia de e es un compendio de cómo las matemáticas surgen de la observación, se formalizan mediante el rigor y, finalmente, se infiltran en cada rincón de la ciencia moderna. Entender e no es memorizar 2,71828: es reconocer que, cuando algo crece o decrece de forma natural, esa constante está ya ahí, esperando ser leída.

Referencias

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