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Carlos del Porto Blanco

En un mundo que se encuentra en un cambio constante, y donde todo es relativo, existe un sistema de pensamiento que ha permanecido como un faro de lógica y certidumbre durante más de dos milenios. Un mundo sin reglas para medir distancias, ángulos o áreas, sería caótico, imposible de navegar con precisión. Fue justamente la necesidad de ordenar el espacio lo que impulsó, hace más de dos milenios, el desarrollo de la Geometría Euclidiana O Parabólica. Ésta es una rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano y en el espacio. Es un sistema lógico y deductivo que sigue siendo la base de la enseñanza matemática en escuelas y universidades de todo el mundo. Una construcción intelectual que no solo define las formas de nuestro entorno, sino que también moldeó la propia idea de razonamiento científico. Lejos de ser un conjunto de fórmulas áridas, es la historia de cómo la humanidad aprendió a comprender el espacio mediante la razón.

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes.

Los orígenes

Todo comenzó en el siglo III a. n. e. en la ciudad de Alejandría, el epicentro del conocimiento del mundo antiguo. Allí, un matemático llamado Euclides de Alejandría realizó una hazaña sin precedentes: no un descubrimiento aislado, sino una síntesis magistral. Según el historiador Heródoto, los griegos aprendieron geometría de los egipcios, pero fueron ellos quienes la transformaron en una ciencia deductiva, basada en razonamientos lógicos y no solo en la experiencia empírica. En su obra «Los Elementos» (Stoicheia en griego antiguo), compuesta por 13 libros, esa compilación no fue tanto una invención original como una sistematización rigurosa del conocimiento geométrico de su tiempo, incluyendo aportes de figuras como Tales de Mileto, Pitágoras y Eudoxo de Cnido. Euclides no inventó la geometría—conceptos como el triángulo o el círculo que ya eran conocidos por los egipcios y los babilonios—, sino que la sistematizó.

Fragmento de Los elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco (Egipto)

La iconografía clásica lo inmortaliza en “La escuela de Atenas” de Rafael, donde un geómetra usa un compás en el suelo: una imagen que simboliza el método de construcción y la disciplina del razonamiento geométrico.

  • Los libros I–IV y VI, Geometría plana: Analizan la geometría plana. Se prueban muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, «En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos ángulos rectos». (Libro I proposición 17) y el teorema de Pitágoras «En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto». (Libro I, proposición 47).
  • Los libros V y VII-X, Teoría de números: Tratan de la teoría de números, y los números se tratan geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones de superficie. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales. Se demuestra que hay infinitos números primos.
  • Los libros XI–XIII, Geometría del espacio: se refieren a la geometría sólida. Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos.

«Los Elementos» es, en esencia, el primer gran tratado de lógica deductiva de la historia. Lo revolucionario de este texto fue su estructura. Euclides partió de definiciones, nociones comunes (axiomas) y postulados, y a partir de ellos demostró cientos de teoremas mediante deducción lógica. Ese enfoque estableció un modelo para la ciencia deductiva que influiría profundamente en pensadores como Galileo, Newton e incluso Einstein. Su estructura es impecable y fue revolucionaria:

  1. Definiciones: Conceptos básicos e intuitivos (punto, línea, superficie).
  2. Postulados: Afirmaciones específicas sobre geometría que se aceptan como verdaderas sin demostración.
  3. Axiomas: Verdades comunes a todas las ciencias (por ejemplo, «el todo es mayor que la parte»).
  4. Proposiciones y Teoremas: Afirmaciones que se demuestran rigurosamente a partir de los postulados y axiomas, utilizando la lógica.

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático, en el que todos los teoremas («declaraciones verdaderas») derivan de un pequeño número de axiomas. Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen “evidentes” (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

Euclides plantea cinco nociones comunes:

  1. Dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí. (la propiedad transitiva de una relación euclidiana).
  2. Si a cosas iguales añadimos cosas iguales, las totales son iguales. (La propiedad de la suma de la igualdad).
  3. Si a cosas iguales quitamos cosas iguales, los restos son iguales. (Propiedad de igualdad de la resta).
  4. Las cosas que se superponen son iguales. (propiedad reflexiva).
  5. El todo es mayor que la parte.

Ese andamiaje lógico se convirtió en el modelo para establecer el pensamiento científico durante siglos. Una anécdota muy ilustrativa, recogida por el filósofo Proclo en el siglo V a. n. e., cuenta que el rey Ptolomeo I le preguntó a Euclides si existía un camino más fácil para entender la geometría. La respuesta de Euclides fue: «No hay un camino real hacia la geometría«. Con eso, enfatizaba que el conocimiento requiere seguir los pasos de la lógica, sin atajos, sin importar la posición social.

El genio de Euclides residió en la elección de sus cinco postulados. Los primeros cuatro son elegantemente simples:

  1. Por dos puntos distintos pasa una única recta.
  2. Un segmento rectilíneo puede prolongarse indefinidamente.
  3. Con cualquier centro y radio se puede trazar una circunferencia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.

Pero el quinto postulado, también conocido como el «postulado de las paralelas», es más complejo. En su formulación original, dice que, si una recta corta a otras dos formando ángulos internos de un mismo lado cuya suma es menor que dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan en el lado en el que están los ángulos menores. Una formulación equivalente y más conocida es: «Por un punto exterior a una recta, pasa una y solo una recta paralela a la dada.»

La complejidad de ese quinto postulado generó una fascinación obsesiva durante más de 2000 años. Los matemáticos intentaron sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro, creyendo que era una proposición y no un postulado. Esos esfuerzos infructuosos, sin embargo, fueron cruciales: al intentar demostrarlo por reducción al absurdo, algunos matemáticos del siglo XIX como Gauss, Bolyai y Lobachevsky terminaron construyendo geometrías consistentes donde el quinto postulado no se cumplía. Así nacieron las geometrías no euclidianas (la esférica o la hiperbólica), que serían esenciales para la Teoría de la Relatividad de Einstein, pero eso es otra historia.

Debe señalarse que la influencia de la geometría euclidiana trasciende con creces las matemáticas. Su método axiomático inspiró a figuras como Isaac Newton, quien estructuró su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica a la manera euclidiana. Baruch Spinoza, el filósofo, escribió su Ética utilizando su formato de definiciones, axiomas y proposiciones. Hoy en día, su enseñanza sigue siendo fundamental en la educación por razones profundas:

  • Desarrollo del Pensamiento Lógico: Entrenar en las demostraciones geométricas es entrenar en el arte de construir argumentos sólidos, de conectar premisas con conclusiones de manera irrefutable.
  • Fundamento Práctico: Desde la arquitectura que diseña los edificios hasta la ingeniería que calcula la estructura de un puente, las leyes euclidianas rigen el mundo a escala humana. El GPS de un smartphone, aunque corregido por la relatividad general (una geometría no euclidiana), muestra un mapa y calcula distancias en un plano que es fundamentalmente euclidiano.

De sus orígenes.

Muchas circunstancias en la vida humana, casi desde sus orígenes, condujeron a numerosos descubrimientos geométricos: la noción de distancia fue uno de los primeros conceptos geométricos descubiertos. La estimación del tiempo necesario para hacer un viaje condujo a observar que la recta constituye la trayectoria más corta de un punto a otro; incluso, por intuición, la mayoría de los animales se da cuenta de eso. La necesidad de delimitar terrenos llevó al hombre a la noción de figuras geométricas simples, tales como: rectángulos, cuadrados, triángulos. Otros conceptos geométricos elementales, como las nociones de vertical, de rectas paralelas, de rectas perpendiculares, pueden haber sido sugeridos por la construcción de paredes y viviendas primitivas.

Muchas observaciones en la vida cotidiana pudieron conducir a los primeros seres humanos al concepto de curvas, superficies y sólidos. Por ejemplo, los casos de circunferencia fueron numerosos: la periferia del Sol, de la Luna, las ondas que se forman al lanzar una piedra en un estanque de agua, y otros. La noción de secciones cónicas: parábolas, elipses, hipérbolas, pudo haber sido insinuada por las sombras producidas por el sol o una antorcha. Los alfareros primitivos hicieron sólidos de revolución. Además, el cuerpo del hombre, de los animales, las flores y las hojas de muchas plantas, las conchas marinas y algunos frutos, sugieren la noción de simetría. La idea de volumen viene de manera casi inmediata, al considerar y fabricar recipientes para contener agua, aceite, cereales y otros alimentos de consumo diario.

Así se fue creando, inconscientemente, una geometría utilizada en un principio por el hombre para solucionar problemas geométricos concretos, sin conexión aparente entre unos y otros y, claro, también la pudo utilizar en la fabricación de objetos ornamentales y artísticos. Esas actividades al surgimiento y al posterior desarrollo de la geometría. Y así la geometría empezaba a volverse una ciencia.

De acuerdo con el historiador Proclo, su planteamiento sobre los orígenes de la geometría es el siguiente: “de acuerdo con la mayoría de las versiones, la geometría fue primeramente descubierta en Egipto, teniendo su origen en la medición de áreas, ya que ésta era una necesidad para los egipcios, debido a que el Nilo, al desbordarse, barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada cual”.

“Y por tanto, no es sorprendente que el descubrimiento de la geometría y otras ciencias tuvieran su origen en las necesidades prácticas, viéndose que todas las cosas se encuentran en el camino que progresa de lo imperfecto a lo perfecto. Por tanto, la transición de la mera sensación al razonamiento y de éste al entendimiento no es más que una cosa natural”

“Y así como la Aritmética tuvo su origen entre los fenicios, debido a su uso en el comercio y las transacciones, la geometría fue descubierta en Egipto por las razones antes expuestas…”

El historiador griego Heródoto, enunció la tesis de la manera siguiente: “Dijeron, también, que este rey dividió la tierra entre los egipcios, de modo que a cada uno le correspondiera un terreno rectangular del mismo tamaño, y estableció un impuesto que se exigía anualmente. Pero cuando el río invadía una parte de alguno, éste tenía que ir al rey y manifestar lo sucedido. El rey enviaba, entonces, supervisores quienes debían medir en cuanto se había reducido el terreno, para que el propietario pagara sobre lo que le quedaba en proporción al impuesto total que se había fijado.

Posiblemente, esta afirmación de Herodoto, no es más que una simple transcripción de lo recogido por él en Egipto. Lo cierto es que los griegos nunca negaron ese hecho.  Así pues, la tradición atribuye los principios de la geometría como ciencia, a las prácticas primitivas de la agrimensura en Egipto; la palabra geometría significa “medición de la tierra”. Aunque no se puede afirmar con seguridad, parece bastante acertado suponer que la geometría surgió de necesidades prácticas.

Pero no solo los egipcios contribuyeron al desarrollo de la geometría: los babilonios también trabajaron en la geometría empírica y resolvieron problemas prácticos.  La civilización babilónica engloba un conjunto de pueblos que vivieron en Mesopotamia, en un período que comienza hacia el año 5000 a. n. e. y termina en los primeros tiempos del cristianismo. Uno después de otro, esos pueblos: sumerios, arcádicos, caldeos, asirios, babilonios y otros, contribuyeron a establecer las características de la civilización babilónica. Más exactamente, la ciudad de Babilonia fue el centro cultural entre los años 2000 y 550 a. n. e. incluso después de la toma de Babilonia por el conquistador persa Ciro, en el año 538 a. n. e., la evolución de las matemáticas babilónicas continuó durante la llamada época “seléucida”, cuyo fin coincide aproximadamente con el supuesto nacimiento de Cristo.

El estudio de los documentos que proceden de las excavaciones arqueológicas, revela que la geometría babilónica estaba íntimamente ligada a las mediciones prácticas. No había una diferencia esencial entre la partición de una cierta cantidad de dinero, de acuerdo a ciertas reglas, y la división de un terreno en partes de áreas iguales. Las condiciones exteriores tenían que ser observadas, en un caso eran las condiciones acerca de una herencia; en otras las reglas determinan un área, o las relaciones entre medidas, o los problemas acerca de salarios. La importancia matemática de un problema recaía sobre su solución aritmética, la geometría no era sino una cosa más entre las muchas de la vida diaria, a las cuales era posible aplicarles los métodos aritméticos.

La geometría no era una disciplina especial, sino que era tratada igualmente que a cualquier otra forma de relación numérica entre objetos de uso práctico. Entre los resultados geométricos conocidos en Mesopotamia, se encuentran métodos para calcular el área de un círculo, con muy buenas aproximaciones del número. (Los babilonios podían además calcular el área de un triángulo y de un trapecio. Los volúmenes de prismas rectos y cilindros, los calculaba multiplicando el área de la base por la altura. Tenían fórmulas para determinar el volumen de un tronco de cono y pirámides cuadrangulares truncadas.

Los geómetras babilónicos estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras, y comprendían su principio general. Conocían también el teorema; atribuido a Tales de Mileto; según el cual el ángulo inscrito en un semicírculo es recto. Además, sabían que “los lados correspondientes de dos triángulos rectángulos semejantes son proporcionales”, y que “la perpendicular trazada desde el vértice de un triángulo isósceles divide la base de este triángulo en dos partes iguales”.

Los geómetras egipcios hicieron su aporte, también, a la civilización griega. La mayoría de los problemas de geometría que aparecen en los diferentes papiros hace referencia a fórmulas de medición necesarias para evaluar el área de figuras planas y de ciertos volúmenes. El área de un triángulo isósceles se obtiene multiplicando la mitad de la base por la altura. Los egipcios estaban acostumbrados a transformaciones que usan la semejanza de rectángulos con ayuda de triángulos isósceles y trapecios isósceles. Calculaban también el volumen de cilindros y prismas, pero desconocían el teorema de Pitágoras en su formulación general. Poseían una buena aproximación del número.

La semejanza y la proporcionalidad no les eran desconocidas a los geómetras egipcios. En el siglo XIII a. n. e. dos figuras similares, aunque de dimensiones diferentes, fueron dibujadas en las paredes de la habitación donde se encuentra la tumba de Seti I.

En el papiro de Moscú, se encuentra un enunciado que evidencia el conocimiento de la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. Se han dado varias explicaciones, pero es difícil, incluso hoy, tratar de saber el método empleado por los egipcios y como llegaron a obtener esa fórmula. Los papiros existentes proporcionan poca información sobre la geometría egipcia y las propiedades matemáticas de la pirámide de base cuadrada. Lo que sí se sabe con certeza, es que los autores de esos documentos egipcios, sabían calcular la pendiente de los lados de una pirámide y su volumen. La construcción de las pirámides fue, para ellos, la ocasión de utilizar el equivalente de nuestra cotangente.

Es interesante observar que, en la matemática egipcia y babilónica, no se encuentra un solo caso de lo que hoy se llama demostración. En lugar de una argumentación general, se encuentra una descripción detallada de un procedimiento aplicado a un caso particular. Unos cuantos siglos antes de nuestra era, toda la sabiduría empírica acumulada por egipcios y babilonios, en especial las matemáticas, pasa a poder de los griegos; pero éstos, a diferencia de aquellos, pusieron gran empeño en concluir los hechos geométricos, no sólo de manera empírica, sino, primordial y casi exclusivamente, con base en razonamientos deductivos.

Fue Tales de Mileto, uno de los primeros pensadores griegos, que vivió hacia el año 600 a. n. e. quien llevó la geometría de Egipto a Grecia. Y si bien egipcios y babilonios, elaboraron los primeros conceptos geométricos, los griegos transformaron un considerable número de conocimientos particulares, no sistematizados y aproximados, en una disciplina rigurosa basada en la lógica.

Sea como sea, lo que sabemos hoy en día indica que la matemática mesopotámica estaba más desarrollada que la egipcia, y que su influencia en los primeros siglos de la cultura Helénica fue decisiva. De todas maneras, todas esas culturas tuvieron una gran interacción, y no hay duda de que, igualmente, todas las ideas tuvieron una gran difusión entre los griegos, que posteriormente las divulgaron por muchos países.

La geometría euclidiana es mucho más que la suma de sus teoremas. Es un monumento a la capacidad humana para abstraer, definir y demostrar. Nos recuerda que, incluso en un universo que ahora se sabe que es curvo y relativo, amén de los tierraplanistas, los ideales de la claridad, el orden y la razón mantienen un valor eterno. En un mundo de posverdad y fake news, el silogismo geométrico permanece como un recordatorio poderoso: algunas verdades, una vez establecidas, son inmutables. Y esa es una lección que, dos mil trescientos años después, sigue siendo profundamente necesaria.

Referencias

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