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El número de oro, también conocido como número áureo, razón dorada o divina proporción, es uno de los conceptos matemáticos más fascinantes y universales. Esa relación aparece en la disposición de los pétalos de flores, piñas, caracoles y hasta en la espiral de las galaxias. Una anécdota interesante dice que el escultor griego Fidias, cuyo nombre inspiró la letra ? para ese valor, habría utilizado esa proporción en obras suyas, como el Partenón. Y en los tiempos modernos, existe la leyenda de que se ha encontrado en el diseño de tarjetas de crédito (lo cual es totalmente falso), logotipos como el de Apple y hasta en violines Stradivarius. A esa cifra dedicare la columna de esta semana.

Debemos admitir con humildad que, mientras el número es puramente un producto de nuestra mente, el espacio tiene una realidad fuera de nuestra mente, de modo que no podemos prescribir completamente sus propiedades a priori. Carl Friedrich Gauss.

La proporción áurea surge cuando se divide un segmento en dos partes de manera que la relación entre la longitud total (a + b) y la parte mayor (a) es igual a la relación entre la parte mayor (a) y la menor (b). ·Esto se representa en la ecuación (a + b) / a = a / b

Resolviendo la ecuación ? = (1 + ?5) / 2, se obtiene: ?=21+5?1,6180339887…, representado por la letra griega phi (?). Es un número irracional, es decir, no puede expresarse como una fracción exacta y sus decimales son infinitos y no periódicos. Esa relación aparece en geometría, arte, arquitectura, naturaleza, finanzas y otras. Pero ese número, realmente, lo interesante que tiene no solamente su parte decimal, sino cómo funciona como proporción. Y es que, como proporción, según Euclides, en su sexto libro dice, que “una resta se corta en extrema y media razón cuando la resta entera es al segmento mayor, como el segmento mayor al segmento menor”.

¿Eso qué quiere decir? ¿Y a qué se refiere con extrema y media razón? Ese es otro de los nombres que recibe esa proporción áurea, y lo que se quiere decir realmente es que, si se tiene un segmento, y se tiene un punto desplazado un poco hacia la mitad del segmento, se dice que ese punto está en proporción áurea. Si la distancia que hay desde el inicio de segmento hasta el final, dividido por la distancia que hay desde el inicio a ese punto, es igual que la distancia que hay desde ese punto al inicio que desde ese punto al final. Entonces, se dice que se tiene un punto en proporción áurea.

Una forma de entender mejor cómo funciona la proporción áurea es a través de la sucesión de Fibonacci, una serie de cifras en la que la suma de dos números consecutivos siempre da como resultado el siguiente y, además, la relación entre cada número se aproxima siempre al número de áureo. Es decir, la sucesión se define como: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34… donde el tercer número es la suma del primero y el segundo, el cuarto es la suma del segundo y el tercero, el quinto es la suma del tercero y el cuarto… Y para encontrar el número áureo solo tenemos que dividir cada número entre el anterior, eso sí, mejor empezar en el 5, para dejar que la sucesión se forme bien.

La proporción áurea está presente en grandes obras maestras. [Botticelli, S. (c. 1485). El nacimiento de Venus]

De la historia del número áureo

Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 A.N.E. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el ese valor fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero ese no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas esas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.

Se tienen indicios de que en la escuela pitagórica trabajaba de Theah de Crotona, no está claro si era la mujer de Pitágoras o su hija. Se supone que cuando a Pitágoras lo matan y la escuela pitagórica tiene que huir, Theah continúa en el exilio siendo una especie de directora de esa escuela. Y se habla que ella desarrolló un teorema relacionado con la razón áurea. No quedan escritos de aquella escuela, la mayoría de las cosas se conocen por otros autores, como Heródoto o Platón. Pero se sabe que hay algo, se sabe que en esa época se desarrolló algo, eso es unos 200 años antes de Euclides.

El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (300 A.N.E. / 265 A.N.E.), quien lo definió de la siguiente manera: “Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor”. Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto. Euclides demostró también que ese número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional.

Platón (428 A.N.E. / 347 A.N.E.) puede haber estudiado el número áureo; sin embargo, puede ser que se le atribuya el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió: Eudoxo… multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen. Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección como la sección áurea. Sin embargo, a partir del siglo XIX esa interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esa opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo:

  1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
  2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
  3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
  4. La autosimilitud asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
  5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quintaesencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, el artista alemán del Renacimiento Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

La espiral áurea muestra la “aplicación práctica» de esa proporción. Para encontrar la espiral debe imaginar un rectángulo y trazar un cuadrado dentro que divida al rectángulo en dos partes no iguales. Luego, debe trazar otro cuadrado en la parte pequeña, y así sucesivamente. Los lados de los cuadrados representarán cada uno de los valores de la sucesión (los dos más pequeños tendrían lado de magnitud 1, el siguiente 2, luego 3 y después 5…) La espiral saldrá del cuadrado más pequeño y atravesará la mitad del cuadrado con una curva.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos en Mysterium Cosmographicum (El misterio cósmico). La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de plata; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa.

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hizo el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie: Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como estas la sección dorada. A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue ?, del griego ????, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo, la moderna denominación ? o ? la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que esta era la primera letra de su nombre escrito en griego (???????). Ese honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodore Cook.

El número de oro en la naturaleza

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y los números de Fibonacci:

Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta el parto y cada camada es de dos conejos). Ese es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de cuatro a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que el embarazo dura 32 días.

El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nuestros días, y parece que el planteamiento recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático. El cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.

Algunos elementos que muestran la prevalencia de ese valor son los siguientes

  • La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
  • La estructura de la variedad de coliflor conocida como brócoli romanesco.
  • La distribución de las hojas en un tallo.
  • La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
  • La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a ? tomando como unidad la rama superior).
  • La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Esos números son elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.
  • La estructura espiral de un huracán.
  • La distancia del ombligo a los pies respecto de la estatura total de un cuerpo humano, así como la relación entre la longitud de la mano y la longitud del antebrazo. El biólogo D’Arcy Thompson y el matemático Alan Turing fueron de los primeros en explorar estas conexiones entre matemáticas y morfogénesis.
  • La cantidad de pétalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89 y 144.
  • La distribución de las hojas de la yuca y la disposición de las hojas de las alcachofas.
  • Las telas de numerosas especies de arañas.
  • La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones áureas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen ese tipo de espiral de crecimiento. En toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.
  • Para que las hojas esparcidas de una planta o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, estas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360 grados (2 – ?) ? 137° 30′ 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999…». En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137 grados, 30 minutos o de 137 grados 30 minutos, 28 segundos en el mejor de los casos.

Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, eso garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen «orgánicamente»; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. No todas las plantas se benefician con un máximo de exposición solar o a la lluvia, por lo que se observan otros ángulos constantes diferentes del ideal de 137 grados, 30′ minutos.

  • En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol y las margaritas, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.
  • El patrón de crecimiento de los cristales de cuarzo.
  • Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo. En el mundo inorgánico no existe el pentágono regular. Ese aparece (haciendo la salvedad de que con un error orgánico; no se puede pretender exactitud matemática al límite) exclusivamente en los organismos vivos.

El número de oro en el arte

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semirregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

  • Relaciones entre las partes del pentágono.
  • Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
  • Relaciones entre las partes del decágono.
  • Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una razón áurea. El pentagrama incluye diez triángulos isósceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es ?. Esos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de ese símbolo, se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea ?. Por lo tanto, el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.

Los segmentos coloreados del pentagrama poseen proporciones áureas.

La observación de esa proporción divina en los sistemas naturales a lo largo de los años, supuso una clara influencia para diversos artistas, los cuales decidieron incluirla en sus obras y creaciones. Muchas de ellas pasaron a la historia y se presentan hoy en día como cuadros, sinfonías u obras arquitectónicas de lo más emblemáticas. Un claro ejemplo es la pirámide de Giza: la altura del monumento dividida por la mitad de la base es aproximadamente igual al número áureo. Además, las secciones en las que se divide la pirámide, como la altura hasta el punto medio y la cúspide, responderían también de acuerdo a la proporción. Debe decirse que sobre este ejemplo y otros hay discusión por una sencilla razón, todo depende desde donde se mida.

Desde el Partenón de Atenas hasta la Mona Lisa de Leonardo da Vinci, pasando por la arquitectura renacentista y moderna, la proporción áurea ha sido utilizada para lograr composiciones armónicas y visualmente agradables. El famoso «rectángulo áureo», cuya relación entre lados es phi, es la base de la espiral de oro, presente en obras de arte y diseño gráfico contemporáneo.

En arquitectura destaca el Partenón de Atenas debido a la relación que aparece entre las medidas del techo y las columnas, o los violines, pues su diseño implica que la ubicación de sus “eses” se relacione directamente con la proporción áurea. Incluso en la música es posible encontrar el número divino, como es el caso de las estructuras formales que aparecen en las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, o en la Quinta Sinfonía de Ludwig van Beethoven. Sin embargo, los expertos optan por la idea de que ambas se compusieron, probablemente, basándose en el equilibrio de masas sonoras, no siendo realmente conscientes los autores de la utilización de la proporción.

Los griegos fueron los primeros en descubrir y utilizar deliberadamente la proporción áurea.

La Mona Lisa es quizás la obra más reconocida que cumple la proporción áurea, aunque también aparece en esa lista el cuadro Leda atómica del pintor español Salvador Dalí, la cual destaca por haber sido pintada con el asesoramiento del matemático Matila Ghyka. En la obra de da Vinci, destaca sobre todo la forma en la que los patrones faciales se asemejan a la proporción áurea, o la comparación del aspecto rectangular del retrato con la relación áurea. Incluso, algunos investigadores han identificado curvas dentro de la pintura que se asemejan a las espirales áureas. La proporción áurea está presente en las siguientes obras de arte:

  • Las proporciones entre las columnas y el techo del Partenón de Atenas (438 A.N.E.).
  • La relación entre los elementos de La Gioconda o Mona Lisa (1503-1519), La Última Cena y El Hombre de Vitruvio, de Leonardo da Vinci (1452-1519).
  • La obra Leda atómica (1949), del pintor surrealista catalán Salvador Dalí (1904-1989), realizada en colaboración con el matemático Matila Ghyka (1881-1965).
  • La duración de los planos y sus transiciones en la secuencia de la escalera del filme El acorazado Potemkin (1925), de Serguéi Eisenstein (1898-1948).
  • Los elementos de la fachada de la catedral de Notre Dame de París (1163).
  • La pintura El nacimiento de Venus (1485), de Sandro Botticelli (1445-1510).
  • La Sagrada Família de Antoni Gaudí
  • El arquitecto Le Corbusier la aplicó en su sistema de proporciones Modulor (1948).

Curiosidades y anécdotas

  • El carácter “mágico” de phi: A lo largo de la historia, la proporción áurea ha sido considerada casi mágica. Pacioli llegó a afirmar que «un hombre es perfecto cuando las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo son proporciones áureas».
  • La espiral de oro: Al construir un rectángulo áureo y subdividirlo sucesivamente, se genera una espiral que se encuentra en la naturaleza, como en las conchas de nautilus o en la disposición de los pétalos de las flores.
  • Un número universal: La fascinación por phi ha trascendido las fronteras de la matemática, inspirando a artistas, arquitectos, músicos y científicos durante siglos.
  • Johannes Kepler (siglo XVII) lo llamó un tesoro de la geometría.
  • En 1973, el psicólogo Gustav Fechner demostró que las personas perciben rectángulos áureos como más estéticos.
  • El Día de Phi se celebra el 23 de junio (1.6 en formato anglosajón).

iStock. Espiral de proporción áurea en una hoja verde

El número áureo sigue siendo un símbolo de la conexión entre matemáticas, arte y naturaleza. Es una prueba de cómo lo racional y lo estético pueden converger en una simple proporción. Aunque su omnipresencia puede estar inflada por el deseo humano de encontrar patrones, lo cierto es que ? continúa inspirando a matemáticos, diseñadores y soñadores de todas las disciplinas. La próxima vez que observe una flor, un caracol, una obra de arte o incluso una foto bien compuesta, recuerde: quizás detrás de esa belleza se esconda el número de oro, trabajando en silencio como un artesano invisible del universo.

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