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Carlos del Porto Blanco

No te preocupes por tus dificultades en matemáticas. Te puedo asegurar que las mías son aún mayores. Albert Einstein.

Uno de los conceptos esenciales de las matemáticas, es el concepto de número. La utilidad de los dígitos ha sido fundamental desde los orígenes de la civilización; eso se aprecia en diferentes contextos y usos, como determinar cantidades y expresar valores. Pero los números son mucho más que eso.

Imagine un número que no pueda ser descrito por una ecuación simple. Uno que se resiste a las reglas del álgebra clásica, que no tenga solución exacta y que no siga un patrón. Ese es el caso de los números trascendentales, un grupo exclusivo y fascinante de valores dentro del universo matemático. Éstos son un tipo de números especiales. No pueden ser raíces de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros distintos de cero. Eso significa que no son números algebraicos, ni tampoco racionales, y por lo tanto son irracionales con una estructura muy compleja.

Los números algebraicos son aquellos que pueden ser soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. Por ejemplo:

  • El número ?2 es algebraico porque es solución de la ecuación x2?2=0.
  • El número 3/4 también es algebraico, ya que satisface la ecuación 4x?3=0.

En cambio, un número trascendental no puede obtenerse como solución de ninguna de esas ecuaciones. No obedecen a fórmulas simples. Son «libres», impredecibles y muy especiales.

Orígenes y desarrollo histórico

La denominación “trascendental” la acuñó Gottfried Wilhelm Leibniz cuando en un artículo de 1682 demostró que la función sin (x) no es una función algebraica de x. Posteriormente, Leonhard Euler definió los números trascendentes en el sentido moderno. La existencia de los números trascendentes fue finalmente probada en 1844 por Joseph Liouville, quien en 1851 mostró algunos ejemplos entre los que estaba la “constante de Liouville”, un número con una expansión decimal muy particular que es trascendental por construcción, donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso.

La constante de Liouville, tiene unos en posiciones específicas y ceros en las demás, como: L=0.110001000000000000000001… Este número fue diseñado deliberadamente para probar que existían números que no podían ser raíces de polinomios con coeficientes racionales.

El primer número del que se demostró que era trascendental sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que ? también es trascendental. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de esos números permitió la demostración de la imposibilidad de resolver antiguos problemas de geometría que solo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que ? es trascendental. No ocurre lo mismo con los otros dos «problemas griegos» más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos. Es significativo que esos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla, acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de ?, tampoco es resoluble con esos métodos.

¿Qué son los números trascendentales? 

Un número trascendental, es uno que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros no todos nulos. Un número real trascendental no es un número algebraico, pues no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Tampoco es número racional, ya que esos resuelven ecuaciones algebraicas de primer grado; al ser real y no ser racional, necesariamente es un número irracional. En ese sentido, número trascendental es antónimo de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales no es numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentales es también no numerable. O tiene la potencia del continuo. Sin embargo, existen muy pocos números trascendentales conocidos, y demostrar que un número es trascendental puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler lo es. De hecho, ni siquiera se sabe si la constante de Euler es racional o irracional.

Los logaritmos naturales de reales positivos, salvo potencias del número e son números trascendentales; de la misma manera los valores de funciones trigonométricas, excepto en algunos casos. Hay forma de dar un número trascendental a través de fracciones continuadas, como el caso del número de Arquímedes o ?. La dificultad estriba en probar si el número propuesto es o no trascendental. La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

Los números trascendentales tienen características particulares. Piense en una ecuación:

  • Algebraicas (Con números algebraicos como el 8, -3, ½, u otros)
  • Simple
  • Con coeficientes enteros

Bueno, los números trascendentales no aparecen en el resultado de ninguna de ellas. Por ejemplo: En este tipo de ecuaciones: x2?4x+4=0

Nunca el resultado podrá ser un número trascendental. Ninguna fórmula que utilice cifras de enteros involucrará, en su resolución, a algún número trascendental. Otra característica de los números trascendentales es que estos son irracionales.

Los números trascendentales más conocidos son:

  • ??3.14159…??3.14159…, fundamental en geometría y física.
  • e?2.71828…e?2.71828…, base de los logaritmos naturales y crucial en cálculo y crecimiento exponencial
  • Números como 2 elevado a raíz cuadrada de 2, también es trascendental según el teorema de Gelfond-Schneider.

¿Qué significa eso? Significa que los números trascendentales no pueden escribirse con forma de fracción simple. O sea, no pueden escribirse de la siguiente forma: ½ o ¾. Pero cabe la pregunta, ¿Por qué no pueden escribirse de esa forma? Pues, no pueden escribirse en forma de fracción simple, porque los decimales de los números trascendentes son infinitos. Por ejemplo, 0.5 = ½, los decimales de 0.5 son finitos. Acaban en el 5, por lo tanto, se pueden expresar como fracciones sencillas.

  • El Número de Euler o número “e” es el siguiente: 2.71828
  • El número pi (?) es el siguiente: 3.14159

Los decimales de ambos números son infinitos. Por lo tanto, los números pi y e: números trascendentes. El número “e” o de Euler es una constante. La cifra es la siguiente: 2.7182818284… (Al infinito). Esa cifra se utiliza en distintas ramas de las matemáticas, pero también en ciencia e ingeniería. El número de Euler ayuda a definir el crecimiento exponencial. Pero ¿qué significa eso?, significa que permite describir un crecimiento típico donde una cifra aumenta en el tiempo. Esa cifra explica, en otras palabras, como una cantidad crece o decrece en relación a otra. Además, el número “e” es la base del logaritmo natural 

Pi(?) es uno de los números más especiales y más utilizados en matemáticas. Numéricamente se escribe de la siguiente manera: ? = 3.14159265358979323846… (Al infinito). Regularmente, se utiliza la letra griega ? para graficar esta cifra. Pi ? no es más que la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.

La pregunta, ¿Qué pasa si el círculo es más grande o más pequeño, cambia el número ?? Es común. No, No cambia. El número ? se mantiene constante sin importar el tamaño del círculo. La cifra que se desprenda de esa relación siempre será 3.14159. El cálculo del número Pi se puede expresar de la siguiente manera: C=?×d. Otra forma de expresarlo es: Circunferencia= ? × Diámetro. En la fórmula: C es la circunferencia, d es el diámetro y ? (pi) es la constante. Gracias a Pi se pueden calcular: El área del círculo y los volúmenes de las esferas.

Además, sin Pi sería muy difícil entender funciones como Seno, Coseno y otras funciones aritméticas. En cálculo, por ejemplo, Pi es muy importante para definir Tangente y funciones circulares. En física se le puede encontrar en áreas como: Mecánica, Termodinámica, Electromagnetismo, la Ley de gravitación universal de Newton y la ley de Coulomb para la fuerza eléctrica. Si se revisan aspectos en las ingenierías, Pi también está presente, en temas como la mecánica de fluidos o la electrónica, también se usa en el diseño de estructuras como los puentes y los túneles. En astronomía se utiliza para calcular el volumen de los cuerpos celestes

Efemérides y anécdotas

  • 1682: Leibniz introduce el concepto de funciones trascendentales.
  • 1844: Joseph Liouville prueba la existencia de números trascendentales y presenta el primer número trascendental conocido.
  • 1873: Charles Hermite demuestra que es trascendental.
  • 1882: Ferdinand von Lindemann prueba la trascendencia de ?, resolviendo la cuadratura del círculo.
  • 1874: Georg Cantor demuestra que la mayoría de los números reales son trascendentales, es decir, que los trascendentales son infinitamente más numerosos que los algebraicos.
  • 1934: Alexander Gelfond y Theodor Schneider resuelven parte del séptimo problema de Hilbert, dando criterios generales para identificar números trascendentales.
  • 14 de marzo (Día de Pi): Se celebra al más famoso trascendental.
  • 22 de julio (Día de Aproximación de Pi): 22/7 ? ? (aunque 22/7 es racional y ? no).
  • Google y ?: En 2022, Google Cloud calculó 100 billones de dígitos de ?, pero su patrón sigue siendo caótico.

Curiosidades

  • Cuadrar el círculo»: Desde la antigua Grecia, los matemáticos intentaron crear un cuadrado con la misma área que un círculo usando sólo regla y compás. Lindemann demostró que eso es imposible porque ? no puede ser solución de una ecuación algebraica.
  • Números normales vs trascendentales: Aunque se sospecha que ? y e son números normales (es decir, sus decimales contienen todas las combinaciones posibles), eso aún no se ha demostrado. Algunos bromeaban diciendo que, si eso fuera cierto, entonces ? contendría toda la literatura mundial codificada en sus decimales.
  • No son raros… pero sí difíciles de encontrar: Aunque hay infinitos números trascendentales (de hecho, casi todos los números reales lo son), ¡muy pocos se conocen con certeza! Eso es paradójico, pero ocurre porque es extremadamente difícil probar que un número no cumple ninguna ecuación algebraica.
  • El desafío de Hilbert: En 1900, David Hilbert incluyó en su famosa lista de problemas abiertos si 2 elevado a la raíz de 2 era trascendental. Se resolvió en 1934 (¡lo es!).
  • El misterio de e+?e+?: Hoy se sospecha que e+?e+? es trascendental, pero no hay demostración. ¡Un enigma vigente!
  • El teorema de Gelfond-Schneider (1934): Establece que si a es algebraico (distinto de 0 y 1) y b es algebraico irracional, entonces ab es trascendental. Ejemplo: 2 elevado a la raíz de 2. (como predijo Hilbert).
  • En esta relación, un episodio curioso ocurrió en el siglo XIX cuando matemáticos intentaron probar que el número de oro, ?, era trascendental, pero finalmente se descubrió que es algebraico, aunque sigue siendo de gran importancia en la naturaleza y el arte.

Como sigue

La teoría de números continúa evolucionando con descubrimientos fascinantes. Algunos avances recientes incluyen:

  • Conjetura abc: Se han logrado progresos significativos en la demostración de esa conjetura, que establece una relación profunda entre números primos y ecuaciones diofantinas
  • Números primos gemelos: Investigadores han avanzado en la comprensión de la distribución de esos números, que son pares de primos separados por solo dos unidades.
  • Algoritmos computacionales: Se han desarrollado nuevas herramientas para abordar problemas complejos en teoría de números, permitiendo cálculos más eficientes.
  • Interacción con la física: La teoría de cuerdas ha revelado estructuras matemáticas novedosas que están transformando la forma en que se estudian los números.

Cerrando

Los números trascendentales son como los rebeldes del mundo numérico: no siguen reglas simples, no pueden ser encerrados en ecuaciones y, sin embargo, están por todas partes. Su historia es un viaje lleno de genialidad, perseverancia y momentos de inspiración que han transformado la forma en que entendemos las matemáticas.

Así que la próxima vez que usted vea a ? en una clase de geometría o a e en una fórmula financiera, recuerde, que está frente a uno de los misteriosos y poderosos números trascendentales, esos que desafían la lógica y nos recuerdan que, en las matemáticas, siempre hay espacio para lo inesperado.

Referencias

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