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Carlos del Porto Blanco

Durante más de dos milenios, el texto “Los Elementos de Euclides” constituyeron no sólo el fundamento de la geometría, sino un modelo de verdad absoluta e inmutable. Sus postulados parecían verdades evidentes sobre el espacio en el que habitamos. Sin embargo, en el siglo XIX, una serie de pensadores audaces se aventuraron a cuestionar lo incuestionable: ¿y si el espacio no fuera euclidiano? Lo que comenzó como una especulación abstracta terminó convirtiéndose en la geometría que describe el universo real, la que hace posible que el teléfono móvil diga exactamente dónde usted se encuentra y la que permitió a Einstein reescribir las leyes de la gravedad. De eso se hablará en la columna de hoy. Bienvenidos al fascinante mundo de la geometría no euclidiana.

Las matemáticas puras son, a su manera, la poesía de las ideas lógicas. Albert Einstein

El problema que desafió a veinte siglos de matemáticos

Para entender la geometría no euclidiana, hay que retroceder hasta Alejandría, alrededor del año 300 a. n. e. cuando Euclides escribió su tratado “Los Elementos”. Partiendo de definiciones, nociones comunes y cinco postulados, Euclides construyó todo un sistema geométrico. Los cuatro primeros postulados son sencillos y elegantes: podemos trazar una línea recta entre dos puntos, podemos prolongar una línea indefinidamente, podemos trazar un círculo con cualquier centro y radio, y todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

El quinto postulado, sin embargo, siempre resultó incómodo. En su formulación original, afirmaba: «Si una línea recta corta a otras dos, de modo que la suma de los ángulos interiores de un mismo lado sea menor que dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado en el que los ángulos son menores que dos rectos». Una versión más familiar, debida al matemático Proclo en el siglo V, es la conocida como postulado de las paralelas: «Por un punto exterior a una recta, solo puede trazarse una única paralela a dicha recta».

Durante más de 2000 años, matemáticos de todas las culturas intentaron demostrar que ese quinto postulado podía deducirse de los otros cuatro. Lo consideraban un defecto estético, una mancha en la perfección del sistema euclidiano. Persas como Omar Khayyam, italianos como Saccheri y alemanas como Lambert dedicaron sus vidas a esa tarea, siempre sin éxito. Lo que no sabían es que no estaban ante un error, sino ante una puerta a un universo matemático completamente nuevo.

Los tres mosqueteros de la nueva geometría (y un cuarto en la sombra)

La historia de la geometría no euclidiana es también la historia de sus protagonistas, y contiene todos los ingredientes de una novela: genios incomprendidos, publicaciones póstumas y amargas disputas por la prioridad.

Durante al menos mil años, los geómetras se inquietaron por la dispar complejidad del quinto postulado, y creyeron que podía demostrarse como un teorema a partir de los otros cuatro. Muchos intentaron encontrar una prueba por contradicción, entre ellos Ibn al-Haytham (Alhazen, siglo XI), Omar Khayyám (siglo XII), Nas?r al-D?n al-T?s? (siglo XIII), y Giovanni Girolamo Saccheri (siglo XVIII).

Los teoremas de Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi sobre los cuadriláteros, incluidos el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri, fueron «los primeros teoremas de la hiperbólica y de las elíptica». Esos teoremas, junto con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair, desempeñaron un papel importante en el desarrollo posterior de la geometría no euclidiana. Esos primeros intentos de cuestionar el quinto postulado influyeron considerablemente en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, como Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis y Saccheri. Sin embargo, todos esos primeros intentos de formular una geometría no euclidiana proporcionaron pruebas defectuosas del postulado de las paralelas, conteniendo suposiciones que eran esencialmente equivalentes al postulado de las paralelas. Sin embargo, esos primeros intentos proporcionaron algunas de las primeras propiedades de las geometrías hiperbólica y elíptica.

Khayyam, por ejemplo, intentó derivarlo de un postulado equivalente que formuló a partir de «los principios del Filósofo» (Aristóteles): «Dos rectas convergentes se cruzan y es imposible que dos rectas convergentes diverjan en la dirección en la que convergen». Khayyam consideró entonces los tres casos recto, obtuso y agudo que pueden tomar los ángulos cimeros de un cuadrilátero de Saccheri y tras demostrar una serie de teoremas sobre ellos, refutó correctamente los casos obtuso y agudo basándose en su postulado y de ahí derivó el postulado clásico de Euclides, del que no se dio cuenta de que era equivalente a su propio postulado. Otro ejemplo es el hijo de al-Tusi, Sadr al-Din, que escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en los pensamientos posteriores de al-Tusi, en el que presentaba otra hipótesis equivalente al postulado paralelo. «Revisó esencialmente tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos.» Su obra se publicó en Roma en 1594 y fue estudiada por geómetras europeos, entre ellos Saccheri quien criticó ese trabajo, así como el de Wallis.

Giordano Vitale, en su libro Euclide restituo, utilizó el cuadrilátero de Saccheri para demostrar que, si tres puntos equidistan de la base AB y de la cúspide CD, entonces AB y CD equidistan en todas partes. En una obra titulada Euclides liberado de todos los defectos), publicada en 1733, Saccheri descartó rápidamente la geometría elíptica como posibilidad (algunos otros axiomas de Euclides deben modificarse para que la geometría elíptica funcione) y se dedicó a demostrar un gran número de resultados en geometría hiperbólica.

Finalmente llegó a un punto en el que creía que sus resultados demostraban la imposibilidad de la geometría hiperbólica. Parece que su afirmación se basaba en presupuestos euclidianos, ya que no existía ninguna contradicción lógica. En ese intento de demostrar la geometría euclidiana, descubrió involuntariamente una nueva geometría viable, pero no se dio cuenta de ello.

En 1766 Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien en la que intentó, como Saccheri, demostrar el quinto postulado. Trabajó con una figura que ahora se conoce como cuadrilátero de Lambert, un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo fuera obtuso, como habían hecho Saccheri y Khayyam, y procedió a demostrar muchos teoremas bajo la suposición de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que hubiera llegado a una contradicción con esa suposición. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos de un triángulo aumenta a medida que disminuye el área del triángulo, y eso le llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó esta idea más lejos.

El primer nombre reconocido en esa historia es el del alemán Carl Friedrich Gauss, el Príncipe de los Matemáticos, considerado por muchos el matemático más grande de la historia. Gauss llegó a la conclusión de que el quinto postulado era independiente y que era posible construir geometrías alternativas coherentes. Incluso midió los ángulos de un triángulo formado por las cumbres de tres montañas (Brocken, Hohehagen e Inselsberg) para comprobar si la suma era realmente 180 grados (el experimento, con la tecnología de la época, no fue concluyente). Sin embargo, Gauss, temeroso de la controversia y las críticas de los filósofos kantianos que consideraban la geometría euclidiana como una verdad a priori, nunca publicó sus hallazgos. Los mantuvo en su diario y en cartas a amigos de confianza.

Mientras Gauss guardaba silencio, en la remota Universidad de Kazán (Rusia), el matemático Nikolái Ivánovich Lobachevski se atrevió a dar el paso que otros no dieron. En 1826, presentó un trabajo que contenía las bases de lo que él llamó «geometría imaginaria». En 1829 y 1830, publicó sus resultados en la revista de la universidad. Lobachevski había construido un sistema geométrico coherente en el que el quinto postulado se sustituía por uno nuevo: «Por un punto exterior a una recta, pueden trazarse al menos dos rectas paralelas a la dada». En su geometría, los triángulos tienen una suma de ángulos menor que 180 grados, y existen relaciones trigonométricas completamente nuevas basadas en funciones hiperbólicas.

Independientemente, en el Imperio Austrohúngaro, un joven oficial del ejército llamado János Bolyai hizo el mismo descubrimiento. Su padre, Farkas Bolyai, que había dedicado su vida a la futileza de demostrar el quinto postulado, le rogó que abandonara esa empresa: «No intentes vencer en la línea de las paralelas; conozco ese camino hasta el final… ese abismo sin fondo puede devorar a mil titanes como Newton». Pero János persistió y, en 1823, le escribió a su padre: «He creado un universo nuevo y diferente a partir de la nada». Su trabajo se publicó en 1832 como apéndice de un libro de su padre. Cuando Gauss lo leyó, alabó el trabajo de János pero le confesó que él ya lo había descubierto décadas antes, lo que sumió a Bolyai en una profunda depresión y le hizo abandonar las matemáticas.

Finalmente, el alemán Bernhard Riemann, en una legendaria lección de habilitación de 1854 titulada «Sobre las hipótesis que subyacen en la geometría», abrió un nuevo frente. Riemann no solo generalizó las geometrías no euclidianas existentes, sino que propuso una geometría esférica (o elíptica) donde no existen paralelas: por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela, y la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180 grados. En ese universo, las «rectas» son círculos máximos sobre una superficie esférica, y todas ellas acaban cortándose.

En 1871, el matemático alemán Felix Klein unificó y bautizó esos sistemas: llamó parabólica a la geometría euclidiana, hiperbólica a la de Lobachevski y Bolyai, y elíptica a la de Riemann, nombres que perduran hasta hoy.

¿Por qué tardó tanto en aceptarse esta idea? La resistencia no fue solo matemática, fue filosófica. Immanuel Kant, el filósofo dominante de la época, argumentaba que el espacio euclidiano era una forma a priori de la intuición humana; es decir, nuestro cerebro estaba «cableado» para ver el mundo como plano.

Sugerir que el espacio podía ser curvo parecía un absurdo lógico. Los críticos preguntaban: «¿Cómo puede una línea ser recta y curva al mismo tiempo?». La validación empírica era imposible con la tecnología del siglo XIX. No fue hasta que la física teórica alcanzó a la matemática pura que la geometría no euclidiana dejó de ser una curiosidad abstracta para convertirse en una descripción de la realidad física.

El triángulo rebelde: entendiendo las geometrías alternativas

La mejor manera de comprender esas geometrías es olvidar la rigidez del papel y pensar en superficies curvas.

Imagine la geometría hiperbólica. Visualmente, se puede representar como la superficie de una silla de montar o un pseudosfera (una superficie en forma de trompeta). En ese mundo curvo, las reglas de Euclides se rompen. Si dibuja un triángulo sobre esa superficie, sus lados parecerán curvarse hacia dentro, y la suma de sus ángulos será siempre inferior a 180 grados. Por un punto exterior a una línea, se pueden trazar infinitas líneas que nunca la corten. Es importante destacar que esas «líneas rectas» en la geometría hiperbólica son las geodésicas, las trayectorias de mínima distancia sobre la superficie.

La geometría elíptica de Riemann es más fácil de imaginar: piense en la superficie de una esfera. Los «planos» o líneas rectas son los círculos máximos (como el ecuador o los meridianos). En una esfera, todos los círculos máximos se cortan (no hay paralelas), y un triángulo formado por tres de esos arcos (por ejemplo, uno con un vértice en el Polo Norte y dos en el ecuador) tendrá una suma de ángulos claramente superior a 180 grados.

La gran pregunta que asaltó a los matemáticos durante décadas fue: ¿son consistentes esos sistemas? Es decir, ¿no encierran una contradicción oculta? La respuesta llegó gracias a los modelos. Eugenio Beltrami demostró en 1868 que la geometría hiperbólica se podía modelar dentro de la geometría euclidiana (por ejemplo, en la pseudosfera), de modo que si esa era consistente, aquella también lo era. Poco después, Klein y el francés Henri Poincaré desarrollaron otros modelos (como el disco de Poincaré) que hicieron tangible lo intangible.

Cuando la teoría se hizo realidad: aplicaciones inesperadas

Durante décadas, la geometría no euclidiana fue considerada un mero ejercicio intelectual, un «universo extraño» sin conexión con la realidad física. El propio Lobachevski la llamó «geometría imaginaria». Sin embargo, el siglo XX se encargó de demostrar que, como dijo el filósofo Arthur Schopenhauer, «la verdad puede esperar, porque tiene una larga vida ante sí».

El punto de inflexión llegó en 1915, cuando Albert Einstein publicó su Teoría de la Relatividad General. Einstein necesitaba un marco matemático para describir un universo donde la gravedad no es una fuerza, sino una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. La masa y la energía le «dicen» al espacio-tiempo cómo curvarse, y esa curvatura les «dice» a los objetos cómo moverse. El lenguaje matemático perfecto para esa idea no era la geometría plana de Euclides, sino la geometría riemanniana, una generalización de la geometría elíptica a cuatro dimensiones (tres espaciales y una temporal). La relatividad general ha sido confirmada en innumerables experimentos, desde la desviación de la luz de las estrellas por el Sol hasta la detección de ondas gravitacionales. El universo, a gran escala, no es euclidiano.

Pero la aplicación más cotidiana, aunque invisible para el usuario, son los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS, Glonass, Baidu). Aunque el su fundamento operativo se basa en la intersección de esferas (trilateración), la corrección de los relojes requiere inevitablemente la teoría de la relatividad. Los satélites de estos sistemas se mueven a gran velocidad (efectos de la relatividad especial) y están en un campo gravitatorio más débil que el de la superficie terrestre (efectos de la relatividad general). Si no se aplicaran esas correcciones relativistas —y por tanto, si no se tuviera en cuenta la geometría curva del espacio-tiempo— los errores de posición acumularían unos 11 kilómetros por día. Su navegador funciona porque su dispositivo móvil y los satélites «hablan» el lenguaje de la geometría no euclidiana.

La propia arquitectura matemática de los sistemas de posicionamiento global tiene una profunda conexión con la geometría hiperbólica. En la frontera de la investigación actual, la geometría no euclidiana sigue ofreciendo sorpresas. Un trabajo reciente del 2022 exploró el comportamiento de los vectores normales en geometrías hiperbólicas y elípticas, encontrando que esos vectores pueden ser discontinuos, un hallazgo con posibles aplicaciones en el estudio de la gravedad cuántica bidimensional, uno de los santuarios más profundos de la física teórica actual.

La historia de la geometría no euclidiana es una lección magistral sobre la naturaleza del conocimiento humano. Comenzó como un problema técnico, una molestia en un sistema perfecto. Requirió del valor intelectual de Lobachevski y Bolyai para desafiar 2000 años de certeza incuestionable. Y culminó con la audacia de Riemann para generalizar y crear un nuevo lenguaje geométrico.

Hoy se sabe que no hay una geometría «verdadera» en un sentido absoluto. La geometría euclidiana es perfecta para construir una casa o diseñar un mueble. Pero para navegar por el sistema solar, para entender los agujeros negros o para que un rover aterrice en Marte, se necesita la geometría no euclidiana. Como dijo Poincaré: «Una geometría no puede ser más verdadera que otra; simplemente puede ser más cómoda». El siglo XX enseñó que, para describir el universo en que vivimos, la geometría de Lobachevski, Bolyai y Riemann no solo es cómoda: es imprescindible.

Referencias

 

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