Carlos del Porto Blanco.

Imagine que está resolviendo una ecuación, algo así como: “¿Qué número, al cuadrado, da -1?” Si responde “ninguno”, no está equivocado… en el mundo real. Pero si responde “i”, está entrando en un universo matemático paralelo: el de los números complejos. Y aunque suene a ciencia ficción, esos números no solo existen —sino que son esenciales para que su celular funcione, un sistema de posicionamiento global ubique una posición o la música digital suene en su reproductor sin distorsiones.

Los números complejos son una extensión fundamental del sistema numérico que combina una parte real con una parte imaginaria, la cual se basa en el concepto del número imaginario i, definido como la raíz cuadrada de ?1, o i2=-1. Surgieron inicialmente en la búsqueda de soluciones a ecuaciones que no podían resolverse con números reales, en particular para poder tomar raíces cuadradas de números negativos. Hoy la columna explorará su origen, evolución histórica y aplicaciones, espero les sea de interés.

Las matemáticas pueden ser definidas como aquel tema del cual no sabemos nunca lo que decimos, ni si lo que decimos es verdadero. Bertrand Russell

¿Qué son los números complejos?

Se entiende por números complejos a la combinación de números reales e imaginarios. La parte real puede ser expresada por un número entero o sus decimales, mientras que la parte imaginaria es aquella cuyo cuadrado es negativo. Los números complejos surgen ante la necesidad de abarcar las raíces de los números negativos, cosa que los reales no pueden hacer. Por esa razón, reflejan todas las raíces de los polinomios. Su fórmula matemática es: a+bi, donde a y b son números reales y la i es el número imaginario. A esa expresión se le conoce como forma binómica por sus dos componentes constitutivos.

Los números complejos son herramientas de trabajo del álgebra, del análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variables complejas, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la eléctrica, electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Sus características principales son:

Los números reales que intervienen en una fórmula de números complejos pueden expresarse en forma par, binómica y vectorial.
La unidad de los números imaginarios se denomina i y es el equivalente a 1 de los números reales. Asimismo, la raíz cuadrada de i es -1.
Dos números complejos se consideran iguales cuando tienen el mismo componente real e imaginario.
Se denomina con la letra C al conjunto de todos los números complejos. De igual forma, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones.
A diferencia de los números reales, los números complejos no pueden mantener un orden.
Existen los números imaginarios puros, cuya parte real es 0 y su fórmula se representa de la siguiente manera: 0+bi=bi.

De su origen y desarrollo

La fórmula general de la solución de las raíces (sin utilizar funciones trigonométricas) de una ecuación de tercer grado contiene las raíces cuadradas de un número negativo cuando las tres raíces son números reales, una situación que no puede rectificarse factorizando con la ayuda del teorema de la raíz racional si el polinomio cúbico es irreducible (casus irreducibilis). Ese enigma llevó al matemático italiano Gerolamo Cardano a concebir los números complejos alrededor del año de 1545 en su obra «Ars Magna», aunque su comprensión era rudimentaria.

El trabajo sobre el problema de los polinomios generales finalmente condujo al teorema fundamental del álgebra, que muestra que, en el dominio de los números complejos, existe una solución para cada ecuación polinomio de grado uno o superior. Los números complejos forman un cuerpo algebraicamente cerrado, donde cualquier ecuación polinómica tiene una raíz. Numerosos matemáticos contribuyeron al desarrollo de los números complejos. Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli. Fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton quien desarrolló un formalismo más abstracto para los este tipo de números, extendiendo esta abstracción a la teoría de los cuaterniones.

Quizás se pueda decir que la referencia breve más temprana a la raíz cuadrada de un número negativo aparece en el trabajo del matemático griego del siglo I Herón de Alejandría. En su Stereometrica considera, aparentemente por error, el volumen de un tronco de pirámide con una solución imposible. El interés por estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI, cuando los matemáticos italianos descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de los polinomios cúbicos. Alrededor del 1575 el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli desarrolló un cálculo sistemático con esos números, estableciendo las bases para su manipulación formal en su obra L’Algebra; no solo usó esos números, sino que les dio reglas de operación. Fue el primero en tratarlos como entidades legítimas, con álgebra propia. Debe destacarse la contribución de Niccolò Fontana y Ludovico Ferrari, miembros de la llamada escuela italiana.

El término «imaginario» para esas cantidades fue acuñado por el pensador francés René Descartes en 1637, inicialmente como una forma despectiva, pues consideraba que no tenían un significado real, esforzándose precisamente por enfatizar su naturaleza imaginaria, “[…] a veces solo imaginario, es decir, uno puede imaginar tantos como ya se dijo en cada ecuación, pero a veces no existe una cantidad que coincida con lo que imaginamos”.

En el siglo XVIII, los números complejos obtuvieron un uso más amplio, ya que se notó que la manipulación formal de expresiones complejas podría usarse para simplificar los cálculos que implican funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730, Abraham de Moivre observó que las identidades complicadas que relacionan las funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con las potencias de las funciones trigonométricas de ese ángulo podrían simplemente reexpresarse mediante la conocida fórmula que lleva su nombre, la fórmula de De Moivre. Isaac Newton y Leibniz también dudaron. Gauss, el “príncipe de las matemáticas”, confesó en una carta de 1825 que le costaba aceptarlos.

La idea de un número complejo como un punto en el plano complejo, fue descrita por primera vez por Caspar Wessel en 1799, aunque se había anticipado ya en 1685 en la obra «De Algebra tractatus» de John Wallis. Las Memorias de Wessel aparecieron en las Actas de la Real Academia de Bellas Artes de Dinamarca, pero pasaron inadvertidas. En 1806, el matemático aficionado suizo Jean-Robert Argand —un contable— publicó un ensayo donde propuso lo que hoy llamamos el plano complejo: un eje horizontal para los números reales y uno vertical para los imaginarios. De pronto, 3+4i dejó de ser un monstruo abstracto y se convirtió en un punto en un plano, como las coordenadas de un mapa.

Carl Friedrich Gauss había publicado anteriormente una prueba esencialmente topológica del teorema en 1797, pero expresó sus dudas en ese momento sobre «la verdadera metafísica de la raíz cuadrada de ?1». No fue sino hasta 1831 cuando superó esas dudas y publicó su tratado sobre números complejos como puntos en el plano, estableciendo en gran medida la notación y la terminología modernas. A principios del siglo XIX, otros matemáticos descubrieron independientemente la representación geométrica de los números complejos: Buée, Mourey, Warren, Français y su hermano, Bellavitis.

El matemático inglés Godfrey Harold Hardy comentó que Gauss fue el primer matemático en usar números complejos «de una manera realmente segura y científica», aunque matemáticos como Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jakob Jacobi los usaban necesariamente de forma rutinaria antes de que Gauss publicara su tratado de 1831. “Si ese tema ha sido considerado hasta ahora desde el punto de vista equivocado y, por lo tanto, envuelto en misterio y rodeado de oscuridad, es en gran parte debido a una terminología inadecuada que debe ser culpada. Si a +1, -1 y ??1, en lugar de ser llamados unidad positiva, negativa e imaginaria (o peor aún, imposible), se les hubieran dado los nombres de unidad directa, inversa y lateral, difícilmente se habría extendido tal oscuridad.”

Augustin Louis Cauchy y Bernhard Riemann aportaron ideas fundamentales sobre el análisis complejo, elevándolo a un alto estado de terminación, comenzando alrededor de 1825 en el caso de Cauchy. Entre los escritores clásicos sobre la teoría general posteriores, se incluyen Richard Dedekind, Otto Hölder, Felix Klein, Henri Poincaré, Hermann Amandus Schwarz, Karl Weierstrass y muchos otros. Los números complejos ligados a las funciones analíticas o de variable compleja, han permitido extender el concepto del cálculo al plano complejo. El cálculo de variable compleja posee diversas propiedades notables que conllevan propiedades que pueden usarse para obtener diversos resultados útiles en matemática aplicada.

Esos números extendieron el concepto de número para poder abarcar todo tipo de raíces y operaciones algebraicas, algo imposible solo con números reales. Geométricamente, los números complejos pueden representarse como puntos o vectores en un plano bidimensional: el eje horizontal para la parte real y el vertical para la imaginaria. Esa visualización es fundamental para muchas aplicaciones científicas modernas.

Aplicaciones científicas y tecnológicas

Aunque al principio parecían una curiosidad matemática, los números complejos son ahora esenciales en muchas áreas. Este tipo de cifra se utiliza para simplificar la modelización y la escritura de fenómenos oscilatorios como son las ondas electromagnéticas y los circuitos electrónicos. Una gran parte de las comunicaciones se realizan utilizando ondas electromagnéticas (señales de televisión, radio, telefonía móvil y otras) y los dispositivos electrónicos que se utilizan (computadoras, teléfonos móviles, autos, y otros) contienen circuitos electrónicos, por lo tanto, resulta evidente la presencia de los números imaginarios en la vida diaria. Por otro lado, se utilizan los números complejos en las series de Fourier, las que permiten el tratamiento y análisis de señales como las electromagnéticas. Por lo tanto, se puede decir que cuando se utiliza el teléfono móvil se están utilizando de forma activa los números complejos y por lo tanto los números imaginarios.

Otro ejemplo es la mecánica de fluidos (hidrodinámica o aerodinámica) que estudia el comportamiento de los fluidos como el aire o los líquidos, en los contornos de un avión, de un buque o de un auto; lo que permite una reducción de las fricciones y disminuir el consumo de combustibles. En mecánica de fluidos en dos dimensiones (plano) se utilizan los números complejos, lo que permite una modelación más simple de los fenómenos como el flujo alrededor de un obstáculo. Una herramienta que utiliza los números complejos es la transformación conforme de Joukovsky, la que facilita calcular el perfil de las alas de los aeronaves.

Menos intuitivo y directo es el ejemplo de la mecánica cuántica, para la cual la ecuación de Schrödinger es el elemento fundamental, al permitir describir la evolución temporal de una partícula no relativista. Sin entrar en detalles, se observa que el número imaginario “i” aparece en la ecuación. De la misma forma, los números complejos son utilizados en las herramientas de la mecánica cuántica (espacio complejo de Hilbert, matriz de Heisenberg). En resumen, los números complejos se utilizan para explicar el comportamiento de la materia a nivel cuántico. Eso significa que la mecánica cuántica permite describir los fenómenos a nivel atómico como la dualidad onda-corpúsculo y la computación cuántica.

Como un último ejemplo, comentaré sobre la utilización de los números complejos en el estudio de un tema que no percibimos cotidianamente, pero que llevamos en nosotros: ¡el origen del Universo! Según la teoría del Big Bang el Universo estaba en un estado muy condensado y luego se expandió. En ese modelo, si se extrapolan las leyes de la física hacia el origen del Universo, aparece una singularidad (un punto) que estaría aproximadamente a 13 800 millones de años (que es la edad estimada del Universo). Stephen Hawking y James Hartle postularon la hipótesis de un Universo sin bordes donde la singularidad inicial no existiría. Esa hipótesis está basada en la idea de que el tiempo “t” cerca del origen del Universo es un tiempo imaginario que se define como t =it. Según Hawking y Hartle esa formulación del tiempo permitiría describir la física del Universo cerca de sus orígenes.

Los números complejos, también son importantes en matemáticas puras, economía, y biología por su capacidad de representar fenómenos oscilatorios y sistemas dinámicos.

Hechos curiosos

Una curiosidad histórica es que en la antigua Grecia y durante mucho tiempo, las raíces de números negativos e imaginarios fueron vistas como absurdas o imposibles. Solo con paciencia y aportes sucesivos de matemáticos a lo largo de casi dos siglos se logró su aceptación y desarrollo.

En 1980, el matemático francés Benoît Mandelbrot presentó una imagen generada por computadoras que parecía sacada de un sueño: el conjunto de Mandelbrot. Ese fractal, basado en una sencilla fórmula con números complejos, reveló estructuras infinitamente detalladas y auto-similares. Fue un momento clave en la historia de la visualización matemática, y mostró que lo “imaginario” podía ser sorprendentemente real.

En su libro An Imaginary Tale (1998), el ingeniero Paul Nahin cuenta que cuando era estudiante, un profesor le dijo: “Los números imaginarios son solo un truco útil, no son reales”. Años después, Nahin escribió un libro entero para demostrar lo contrario. Hoy, ese libro es un clásico. La moraleja: a veces, lo que parece “irreal” termina siendo más real que lo tangible.

Fechas clave para recordar:

1545: Gerolamo Cardano publica Ars Magna y usa raíces de negativos.
1572: Rafael Bombelli establece las primeras reglas algebraicas para complejos.
1637: René Descartes acuña el término “imaginario”.
1777: Leonhard Euler introdujo el símbolo i para representar la unidad imaginaria.
1799, cuando el topógrafo noruego Caspar Wessel representa los números complejos de forma geométrica.
1806: Jean-Robert Argand introduce la representación gráfica en el plano.
Siglo XIX: Carl Friedrich Gauss, Augustin-Louis Cauchy y Georg Friedrich Bernhard Riemann desarrollan el análisis complejo.
Siglo XX: Los complejos se vuelven esenciales en física

Los números complejos enseñan una lección profunda: en ciencia, muchas veces hay que aceptar lo que desafía la intuición para descubrir verdades más grandes. Los números complejos nacieron como un recurso técnico, fueron marginados como fantasmas, y hoy son indispensables en casi toda la tecnología que usamos.

Como dijo el físico Paul Dirac, uno de los padres de la mecánica cuántica: “Las matemáticas que no son completamente locas al principio, no tienen esperanza.” Y los números complejos, sin duda, comenzaron como una locura brillante.

Referencias

Complex number. Enciclopedia Británica. Obtenido de: https://www.britannica.com/science/complex-number
Huttel, Yves. ¿Qué son los números imaginarios? Divulgación científica de científicos. 16 de agosto de 2018. Obtenido de: https://divulgacioncientificadecientificos.blogspot.com/2018/08/que-son-los-numeros-imaginarios-yves.html
Números complejos. Wikipedia. Obtenido de: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
¿Qué son los números complejos? Ferrovial. Obtenido de: https://www.ferrovial.com/es/stem/numeros-complejos/