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Carlos del Porto Blanco

Los fractales son una fascinante rama de las matemáticas y la geometría que describe objetos con estructuras complejas que se repiten a diferentes escalas. Lo que significa que, si se amplían o se reducen, se seguirá viendo la misma estructura. Ese concepto, aunque formalizado recientemente, tiene raíces históricas que se remontan al siglo XIX. Este será el tema de la columna de esta semana.

Un fractal es una forma de ver el infinito. Benoit Mandelbrot

La palabra «fractal» fue propuesta en 1975 por el matemático franco-estadounidense Benoît Mandelbrot (1924-2010), quien es considerado el padre de la geometría fractal. El término proviene del latín fractus, que significa «quebrado» o «fracturado». Mandelbrot describió esos objetos como aquellos cuya estructura fragmentada o aparentemente irregular se repite a diferentes niveles de ampliación. Él ilustró cómo muchas formas de la naturaleza que no se ajustan a la geometría euclidiana tradicional—como las nubes, las montañas o la costa— pueden entenderse mejor bajo esa nueva perspectiva geométrica.

Sin embargo, los fractales como objetos matemáticos comenzaron a ser estudiados mucho antes. En el siglo XIX, los matemáticos Giuseppe Peano, Georg Cantor y Felix Klein exploraron conjuntos con propiedades auto-similares, como el conjunto de Cantor, que consiste en eliminar repetidamente el tercio central de un segmento, generando una estructura infinitamente fragmentada. En 1872, Karl Weierstrass describió una función matemática que hoy se reconoce como un ejemplo temprano de fractal, por ser continua pero no derivables en ningún punto. Más adelante, en 1904, Helge von Koch definió la famosa curva del copo de nieve de Koch, y en años sucesivos, Wac?aw Sierpi?ski desarrolló el triángulo y la alfombra que llevan su nombre, ambos ejemplos clásicos y formales de fractales.

En 1919 Félix Hausdorff introdujo la primera manera de observar y estudiar ese tipo de formas en la vida real, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch. En la actualidad, según Ian Stewart, el concepto de Hausdorff es llamado dimensión fractal. Unos años más tarde, el ruso Andrei Kolmogorov describía una herramienta similar a la de Hausdorff que sería posteriormente conocida como la entropía de Kolmogorov. Según Lorenz en “La esencia del Caos” con esos avances, especialmente el de Kolmogorov, era sencillo imaginar figuras geométricas fractales y también comprender las estructuras con dimensiones fraccionarias.

En la década de 1920, el meteorólogo y matemático británico Lewis Fry Richardson concibió formas más precisas de medir la longitud de las tortuosas costas británicas, anticipando así la noción de dimensión fractal. Richardson estimó la longitud de la costa en función de la escala de medición y concluyó que, a menor escala, mayor es la longitud, y tiende hacia el infinito. No fue hasta 1975 cuando Mandelbrot publicó en la revista Science su artículo “How Long is the Coast of Britain”, en el que presentó formalmente su novedoso enfoque para estudiar la irregular geometría de la naturaleza e introdujo la palabra fractal.

La historia de los fractales se puede rastrear, más profundamente, hasta el escritorio del matemático francés Henry Poincaré dado que los mismos son las expresiones geométricas de la teoría del Caos que ese investigador inició sin proponérselo. Si bien Poincaré es a quien se le debe la génesis de las Ciencias de la Complejidad y del pensamiento complejo, es en Benoit Mandelbrot a quien se debe dirigir la mirada cuando se habla de la geometría fractal propiamente dicha.

Science Photo Library. Gráfico de computadora que muestra una imagen fractal «espiral» tridimensional derivada del conjunto Julia, creado y estudiado durante la Primera Guerra Mundial por los matemáticos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou.

Un dato curioso es que Mandelbrot descubrió y popularizó los fractales mientras trabajaba en IBM. En esa etapa abordó los problemas del ruido generado durante la transmisión de señales entre computadora. Para ello utilizó conceptos basados en patrones repetitivos fractales en la dimensión temporal, de esa forma descubrió que seguían patrones fractales, también analizó fenómenos irregulares como el precio del algodón y las fluctuaciones del mercado. Su libro «La geometría fractal de la naturaleza» (1982) revolucionó la manera en que se entienden las formas en la ciencia, el arte y la tecnología. Su enfoque abrió un campo nuevo para entender fenómenos naturales y aplicarlos en áreas tan diversas como la biología, la geología, la física y la informática.

La característica clave de un fractal es su autosimilitud: si se amplía cualquier parte del fractal, ésta se asemeja a la totalidad. Eso se puede observar en fractales naturales, como la estructura de los pulmones, los copos de nieve, las costas, las nubes o incluso en ciertas plantas como el brócoli romanesco o las hojas de los helechos. Además, los fractales poseen una dimensión fractal, que es un número que no es un entero y que refleja la complejidad y la irregularidad de su forma, a diferencia de las figuras clásicas que tienen dimensiones enteras. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero mayor que su dimensión topológica (que siempre es un entero).

La definición de fractal desarrollada en los años 1970 dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo antes. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

  • Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
  • Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.

Algunos de ellos son:

  • Fractales naturales: son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilitud estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos en que los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilitud se extiende solo a un rango de escalas (por ejemplo, a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
  • Conjunto de Mandelbrot: es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
  • Paisajes fractales: ese tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
  • Fractales de pinturas: se utilizan para realizar el proceso de decalcomanía.
  • Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
  • Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No basta con una sola de esas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas. Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esa representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Se han identificado fractales en galaxias lejanas, en las intrincadas redes neuronales del cerebro, en el sistema circulatorio, en los bronquios pulmonares, en las hojas de los helechos, en protuberancias solares e, incluso, en la propia estructura del ADN. Se utilizan en investigación sobre el cambio climático y la trayectoria de meteoritos peligrosos. Así, los fractales son un ejemplo sorprendente de orden escondido en el caos, de la infinita complejidad reproducida de modo recursivo a todas las escalas, desde lo astronómicamente grande hasta lo microscópicamente pequeño.

Getty Images. La forma de las nubes es complicada e irregular: el tipo de forma que los matemáticos solían evitar a favor de las regulares, como esferas, que podían trabajar con ecuaciones

¿Qué es un fractal?

Un fractal es una estructura que se repite a sí misma en diferentes escalas: por más que ampliemos o reduzcamos una pequeña parte, se seguirá viendo un patrón similar al original. Esa propiedad se llama autosimilitud.

Ejemplos clásicos de fractales son:

  • Conjunto de Mandelbrot (1980): El icono de los fractales, generado por una simple ecuación matemática (z??? = z?² + c). Su borde infinitamente detallado inspiró el arte digital.
  • Triángulo de Sierpi?ski (1915): Un triángulo que se subdivide recursivamente en triángulos más pequeños, creado por el matemático polaco Wac?aw Sierpi?ski.

El triángulo de Sierpinski es un ejemplo de estructura fractal muy simple, donde el patrón triangular se repite una y otra vez a diferentes escalas para dar forma a la figura.

  • Copo de nieve de Koch (1904): Una curva infinita con perímetro infinito, pero área finita, ideada por Helge von Koch.

Fractales en la naturaleza

Al explorar la naturaleza, tanto viva como inerte, aparece un amplio reino de formas y patrones repetitivos e infinitos, que siguen directamente las leyes de la geometría fractal. De hecho, esos objetos son mucho más comunes de lo que se suele imaginar y aparecen manifestados en un sinfín de contextos diferentes. Uno de los ejemplos más icónicos es el de los copos de nieve, en los que las estructuras hexagonales se repiten de forma continuada tanto si observamos sus cristales individuales, como si se centra en las formaciones más grandes.

Fotografía macro de un copo de nieve donde se puede apreciar como el elemento se basa en la repetición de los mismos patrones en cada una de sus partes. Tomado de National Geographic

Otro ejemplo son los sistemas montañosos o las líneas costeras. Ese tipo de fenómenos geográficos responde a los patrones infinitos definidos por los fractales: las montañas suelen mostrar la autosemejanza en la topografía, repitiéndose a diferentes escalas la cadena de picos-valles-crestas, mientras que las líneas costeras destacan por las entradas y salidas del mar, iterándose una y otra vez a cada nivel de detalle.

Los sistemas de ramificación de las plantas no se quedan atrás. Durante el crecimiento, muchos vegetales siguen un patrón fractal, de forma que, al observar cómo las ramas se dividen en otras más pequeñas y esas, a su vez, en otras aún menores, se está realmente asistiendo a un fenómeno fractal. De forma parecida, las nubes en el cielo toman también formas fractales: su estructura se repite de forma constante debido a los patrones en los que se agrupan las moléculas de agua en el aire.

A diferencia de las figuras euclidianas (círculos, cuadrados), los fractales describen formas naturales con precisión.

Fractales en el arte.

Pero la influencia de los fractales se extiende mucho más allá de la propia naturaleza, introduciéndose en el mundo del arte y la cultura con formas creativas e inspiradoras. Un ejemplo es la escultura y el arte digital, donde los artistas experimentan con la creación de diferentes formas tridimensionales basadas en la geometría fractal. Ese tipo de obras puede tomar la forma de esculturas tridimensionales de formas complejas o, simplemente, objetos que evocan fenómenos naturales.

Estructura fractal generada por un equipo de diseño gráfico. Tomado de National Geographic.

Incluso la música ha sentido la presencia de estos objetos geométricos. En múltiples ocasiones, los músicos utilizan algoritmos de repetición para componer piezas musicales, basándose en el principio de autosemejanza. Se trata de obras estructuradas en diferentes partes, donde las estructuras se repiten en diferentes escalas temporales, creando composiciones cautivadoras y sorprendentes. Un ejemplo es la Suite para Cello número 3 de Bach, la cual presenta unos patrones de notas cortas y largas que reaparecen como patrones de frases a una escala mayor.

Algunas aplicaciones de los fractales

  1. Medicina: Análisis de tumores y redes neuronales.
  2. Gráficos por computadora: Terrenos virtuales en videojuegos (Minecraft usa algoritmos fractales).
  3. Informática: se usan en algoritmos de compresión de imágenes.
  4. Arte y música: inspiran composiciones visuales y sonoras con patrones auto-similares
  5. Antenas fractales: Diseños compactos para telecomunicaciones.
  6. Geografía: modelan paisajes realistas en videojuegos y simulaciones.
  7. Finanzas: algunos analistas aplican modelos fractales para estudiar mercados volátiles.

Algunas curiosidades

  • El nombre «fractal» viene del latín fractus («quebrado»), elegido por Mandelbrot por su irregularidad.
  • Arte fractal: En 1999, el artista Roman Verostko creó obras usando algoritmos fractales, vendiéndolas como piezas únicas.
  • Fractales en el cine: Star Trek II: La ira de Khan (1982) fue la primera película en usar gráficos fractales para generar un paisaje alienígena.
  • En 2010, se descubrió que el patrón fractal puede estar presente en la estructura del cerebro humano, ayudando a entender cómo se conecta y procesa la información.

Benoît Mandelbrot murió en 2010, pero su legado sigue vivo. En 2025, cincuenta años después de acuñar el término «fractal», científicos de disciplinas tan diversas como la biología, la economía y la astrofísica siguen encontrando nuevas aplicaciones para esas estructuras. Recientemente, investigadores del MIT usaron modelos fractales para predecir la propagación de incendios forestales, mientras que equipos médicos exploran cómo los tumores crecen con patrones fractales, lo que podría ayudar a diagnosticar cánceres más temprano.

En resumen, la historia de los fractales es la historia de cómo la matemática ha ido descubriendo una nueva forma de entender la realidad natural, a través de formas que, lejos de ser simples y lisas, muestran una infinita complejidad. Los fractales no solo han ampliado el conocimiento matemático, sino que también han ofrecido una nueva mirada del mundo, resaltando la sorprendente belleza que hay en lo fragmentado y aparentemente caótico. Esta geometría ha revolucionado muchas áreas de la ciencia y la tecnología, y continúa siendo un campo de investigación activo y apasionante. Como dijo Mandelbrot: «Las nubes no son esferas, las montañas no son conos y el relámpago no traza una línea recta.

Referencias

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