Carlos del Porto Blanco

Cada 14 de marzo a la 1:59 p. m., comunidades científicas de todo el mundo celebran un ritual curioso: rinden homenaje a un número. Esa fecha (3/14 1:59) fue elegida para honrar al número pi (?), una constante matemática que comienza con 3.14159…

Para el público general, pi suele evocar recuerdos escolares de fórmulas circulares. Sin embargo, para físicos, ingenieros y matemáticos, ? es el pegamento que une la geometría euclidiana con la realidad del universo. Este ensayo busca desglosar, en un lenguaje claro pero riguroso, la historia, las propiedades y la asombrosa utilidad de esta constante.

Esta es una de las constantes matemáticas más universales y fascinantes: irracional, trascendente y presente en la geometría, la física, la estadística y hasta en la cultura popular. Su valor aproximado, 3.14159, ha sido calculado con más de 100 billones de cifras gracias a supercomputadoras modernas. A ese valor, que hasta tiene canciones dedicadas a él, dedicaré la columna de hoy.

Súmese cuatro a cien, multiplíquese por ocho y añádase sesenta y dos mil. El resultado es el valor aproximado de la longitud de una circunferencia de diámetro veinte mil. Aryabhata Matemático hindú (476 – 550). Una excelente aproximación para pi.

El número ? (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de ?, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: ?=3,141 592 635 589 793 238 462…. El valor de ? se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Cabe destacar que el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías no euclidiana.

La notación con la letra griega ? proviene de la inicial de las palabras de origen griego ?????????? “periferia” y ?????????? “perímetro” de un círculo, notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemático galés William Jones (1675-1749); aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes). Jones plantea el nombre y símbolo de este número en 1706 y Euler empieza a difundirlo en 1736.

Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante. No obstante, existen diversas definiciones del número pi, pero la más común es: ? es la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro. Además, ? es: El área de un círculo unitario (de radio que tiene longitud 1, en el plano geométrico usual o plano euclídeo) y el menor número real positivo x, tal que sen (x)=0.

Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

También se sabe que ? tampoco es un número de Liouville, es decir, no solo es trascendental, sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales “rápidamente convergente”. El número ? es un período algebraico

Historia del cálculo del valor ?

La búsqueda del mayor número de decimales del número ? ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de pi, son las siguientes.

Antigua Roma

Los primeros matemáticos romanos descubrieron una relación entre la longitud de pies de la circunferencia y el número 3.14.

Mesopotamia

Hacia el 1900 – 1600 a. n. e. algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de ? igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de: ?=3+1/7=3.145827.

Antiguo Egipto

El valor aproximado de ? en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. n. e. descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un valor aproximado de pi afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 del diámetro, ? ? 3.1605.

Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Solo en el primero se habla del valor aproximado del número ? El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity, describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de pi, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.

En la Biblia

Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de ? se puede encontrar en un versículo de la Biblia: Hizo el mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo, y de cinco codos de altura; un cordón de treinta codos medía su contorno. Debajo del borde había calabazas todo en derredor; daban vuelta al mar a lo largo de treinta codos; había dos filas de calabazas fundidas en una sola pieza.

I Reyes (Biblia de Jerusalén)

Una cita similar se puede encontrar en el Segundo libro de las crónicas. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. n. e.: Hizo el mar de metal fundido, de diez codos de borde a borde. Era enteramente redondo y de cinco codos de alto. Un cordón de treinta codos medía su contorno.

II Crónicas (Biblia de Jerusalén)

Ambas citas dan tres como valor de ?, lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica. Al respecto, apologéticos cristianos señalan que la falta de precisión se pueda atribuir al redondeo de las dimensiones relatadas por el texto.

Antigüedad clásica

El matemático griego Arquímedes (siglo III a. n. e.) fue capaz de determinar el valor de ? entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo, logrando una precisión entre 3.1408 y 3.1429. Con esa aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0.024 % y 0.040 % sobre el valor real. El método usado por Arquímedes era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

Alrededor del año 20, el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula ? como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones: 377/120=3.1416…

Matemática china

El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrónomo chino Zhang Heng (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación ?10, que dedujo la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3.155555), aunque se desconoce el método empleado. Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir que 3.14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96 o 192 lados. Posteriormente estimó ? como 3.14159 empleando un polígono de 3072 lados.

A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de ? en 3.1415926, al que llamó “valor por defecto”, y 3.1415927, “valor por exceso”, y dio dos aproximaciones racionales de ?, 22/7 y 355/113, muy conocidas ambas, siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.

Matemática india

En el Baudhayana-sulba-sutra se dan aproximaciones que se han interpretado de diversas formas como aproximadamente 3.08831, 3.08833, 3.004, 3 o 3.125. Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3.1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula ? como ?10, cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava de Sangamagrama (circa 1400) obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3.14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación. Madhava descubrió lo que hoy se conoce como la serie de Leibniz para ?, anticipando el cálculo infinitesimal europeo en casi tres siglos.

Matemática islámica

En el siglo IX Al-Jwarizmi, en su Álgebra (Hisab al yabr ua al muqabala), hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de ?, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3.1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de ? con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2 ?=6.2831853071795865.

Renacimiento europeo

A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para ? el matemático italiano Fibonacci (1170 – 1250), en su Practica Geometriae, amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usaron polígonos de hasta 393 216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes.

Época moderna (precomputacional)

En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de ?. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a ? como número ludolfiano.

El inglés William Oughtred fue el primero que empleó la letra griega ? como símbolo del cociente entre las longitudes de una circunferencia y su diámetro. Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: “3,14159 andc. = ?” y propuso usar siempre el símbolo ?, y fue Leonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirtió en la notación habitual y lo estandarizó como notación matemática en Introductio in analysin infinitorum (1748) que se usa hasta nuestros días.

El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número ? en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara ? con 41 decimales.

El matemático, físico, astrónomo y filósofo franco- alemán Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que ? es irracional. Si se intentara escribir ?, se obtendría un flujo infinito de decimales sin patrón repetitivo.

El matemático alemán Carl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882, probó que ? es trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales. La implicación práctica de eso fue devastadora para los matemáticos clásicos: cerró la puerta al famoso problema de la «cuadratura del círculo» (construir un cuadrado con la misma área que un círculo usando solo regla y compás), demostrando que es imposible.

En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de ?, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.

El matemático aficionado de origen inglés William Shanks trabajó, durante 20 años, en hallar los dígitos decimales de ?, habiendo obtenido 707 decimales en 1873. En 1944, D. F. Ferguson encontró un error en el 528 dígito decimal de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos subsiguientes eran erróneos. En 1948, Ferguson recalculó ? con 808 decimales con la ayuda de una calculadora electrónica

Época moderna (computacional)

Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número ? con la mayor cantidad de cifras posible. De esa forma, en 1949 una computadora ENIAC fue capaz de romper el récord, obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo computadoras que batían récords y, de esa forma, pocos años después (1954) una NORAC llegó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de 1960 las IBM fueron batiendo récords, hasta que una IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250 000 cifras decimales (en ocho horas y 23 minutos). Durante esa época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de ?.

En la década de 2000, las computadoras son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En el 2002, una supercomputadora Hitachi, en colaboración con la Universidad de Tokio, alcanzó 1.24 billones de dígitos para pi. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos. En el 2024, el récord mundial lo ostentaba el equipo de StorageReview, que utilizando un servidor Dell PowerEdge R7725, calculó 105 billones de dígitos (o 314 billones según los últimos reportes de 2024 – 2025).

En la época computacional del cálculo de ? las cifras se han disparado, no solo debido a la potencia de cálculo que esas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords, y por la capacidad de hacer uso de computación avanzada para encadenar millones de máquinas si se desea y así aumentar la potencia de cálculo, que en los anteriores casos sólo deviene de una sola máquina, siendo el último ejemplo el uso de una combinación entre potencia de procesamiento y el uso de programas de cálculo y/o entrelazamiento de máquinas asistido.

Curiosidades asociadas al número pi:

• El método de Arquímedes no fue superado en casi dos mil años a pesar de los grandes avances realizados en su evaluación numérica.
• El valor de Pi usado por Posidonio (135-51 a. n. e.) debió ser correcto en varias cifras decimales. El valor que obtuvo para la circunferencia de la tierra fue adoptado tres siglos más tarde por el astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo y mucho después por Cristóbal Colón, entre muchos otros.
• El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los admiradores de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Fue establecido en 1988 por el físico Larry Shaw en el Exploratorium de San Francisco. Curiosamente es el cumpleaños de Albert Einstein y el aniversario del fallecimiento de Stephen Hawking. 355/113 (aproximadamente 3.1415929) se menciona a veces como una simulación cuasi – perfecta.
• El «Punto de Feynman»: A partir del decimal 762, aparece la secuencia «999999». El famoso físico Richard Feynman bromeaba diciendo que le gustaría memorizar hasta ese punto para poder presumir de que, al final de ?, dijera «… y nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, y así sucesivamente».
• La Premio Nobel de Literatura Wis?awa Szymborska escribió un poema titulado “El número Pi” (Liczba Pi) en el que utiliza, en su orden, los 25 primeros dígitos de ?.
• John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona ? en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada “Something Tells Me”. La canción acaba con una letra como: “What’s the secret of life? It’s 3.14159265, yeah yeah!!”. La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de ?. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592.
• Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es 6/?²
• Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50 000 000 primeras cifras de ?
• En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en “Mathematica”.
• En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el récord mundial recitando durante 13 horas 83 431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior récord en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio récord recitando 100 mil dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
• El máximo número de dígitos de ? necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
• Existe una canción de Kate Bush llamada “Pi” en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número
• En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es ?31416.

• En la película Pi: Fe en el Caos los estudiantes de la Torá consideran los 216 (6x6x6) primeros decimales como representación del verdadero nombre de Dios.
• El grupo musical cubano compuso el tema, pi, 3.14, en el año 2011, un tema que mezcla humor y cubanía.
• Aunque los entusiastas de los récords calculan billones de dígitos, la agencia espacial NASA utiliza solo 15 decimales (3.141592653589793) para sus cálculos más precisos. Con 40 decimales, se podría calcular la circunferencia del universo visible con un error más pequeño que el tamaño de un protón. Los decimales extra son, en la práctica, un ejercicio de poder computacional, no de necesidad física.

Cuestiones abiertas sobre ?

• Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de ??
• La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de ?, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
• ¿Es ? simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
• No se sabe si ?+e, ?/e, ln(?) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden 10⁹.
• ¿Cuál es el valor de su medida de irracionalidad?

Aplicaciones prácticas de pi.

Este número tiene aplicaciones en prácticamente todas las ramas del saber humano, acá dejo algunos ejemplos.

• Geometría y trigonometría: cálculo de áreas y perímetros de círculos y figuras curvas.
• Ingeniería y física: aparece en ecuaciones de ondas, electromagnetismo, mecánica cuántica y resonancia atómica. Los GPS funcionan porque los satélites calculan su posición relativa a la Tierra usando geometría esférica que involucra a pi. En la termodinámica, la constante de Stefan-Boltzmann (que describe la radiación de los cuerpos negros) contiene ?2/60?2/60. Incluso para describir la curvatura del espacio – tiempo en la Relatividad General de Einstein, ? aparece en las ecuaciones tensoriales.
• Estadística: presente en la distribución normal y en modelos probabilísticos. Es fundamental para entender fenómenos desde las alturas de una población hasta los errores de medición.

Principales reservas y debates

• Utilidad de tantos decimales: aunque se han calculado billones de cifras, en ingeniería y física rara vez se necesitan más de 10 decimales.
• Simbolismo: pi representa la frontera entre lo finito (el círculo tangible) y lo infinito (sus decimales interminables).
• Producción de conocimiento: desde métodos geométricos antiguos hasta algoritmos modernos como el de Chudnovsky, que permiten cálculos ultrarrápidos.

El número ? es mucho más que una constante matemática: es un símbolo de la búsqueda humana por comprender lo infinito. Desde los cálculos de Arquímedes hasta los récords computacionales actuales, Pi ha acompañado el desarrollo científico y cultural de la humanidad, y sigue siendo un puente entre lo tangible y lo abstracto.

Es un puente entre la abstracción matemática y la realidad tangible. Desde la construcción de una noria hasta el cálculo de la órbita de un satélite, pasando por la validación de los superordenadores más potentes de la historia, ? sigue siendo la constante que demuestra que, a veces, las respuestas más profundas del universo se esconden en la relación más simple: la longitud de un círculo dividida por su diámetro.

Referencias

• Numero ?. Wikipedia. https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
• Pi. Enciclopedia Británica. https://www.britannica.com/science/pi-mathematics